N° 2 ELLISSI

Scrivere l’equazione dell’ellisse canonica sapendo che l’eccentricità è uguale a

\frac{\sqrt{2}}{2}

, che la somma dei quadrati delle misure dei semiassi è uguale a 15 e che i fuochi stanno sull’asse x; determinare l’equazione della retta tangente all’ellisse nel suo punto di ascissa 2, appartenente al 1° quadrante.


In quest'ellisse l'eccentricità è $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e la somma dei quadrati dei semiassi è $a^{2} + b^{2} = 15$ Queste condizioni portano a: ${\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = \frac{a^{2}}{2} \\ a^{2} + b^{2} = 15 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{a^{2}}{2} - b^{2} = 0 \\ a^{2} + b^{2} = 15 \end{matrix}$ Sommando la prima alla seconda: $\frac{3}{2} \cdot a^{2} = 15 \Rightarrow a^{2} = 10$ e $b^{2} = 15 - a^{2} = 5$ . L'equazione dell'ellisse è: $γ_{1} : \frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ Il punto di ascissa 2 appartenenete al I° quadrante: $\frac{4}{10} + \frac{y^{2}}{5} = 1 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{10 - 4}{2}} = \pm \sqrt{3}$ Il punto richiesto è $Q (2; \sqrt{3})$

La retta tangente si può trovare con la formula di sdoppiamento:

$\frac{x x_{Q}}{10} + \frac{y y_{Q}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{3}}{5} y = 1 \Rightarrow x + \sqrt{3} y - 5 = 0$