N° 3 ELLISSI

Trovare l’equazione dell’ellisse canonica inscritta nel triangolo di vertici A(-4; -2), B(0;4), C(4;-2) (l’ellisse è tangente ai lati del triangolo nei suoi punti medi). Determinare il rapporto tra l’area del triangolo dato e l’area del trapezio avente per vertici i punti di contatto dell’ellisse simmetrici rispetto all’asse delle y e i fuochi dell’ellisse.


Troviamo i punti medi dei lati del triangolo : ${\begin{matrix} x_{E} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = - 2 \\ y_{E} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \end{matrix}$ ${\begin{matrix} x_{D} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = 0 \\ y_{D} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = - 2 \end{matrix}$ ${\begin{matrix} x_{F} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = 2 \\ y_{F} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = 1 \end{matrix}$ Quindi imponiamo che i punti appartengano all'ellisse: ${\begin{matrix} \frac{x_{E}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{E}^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{x_{D}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{D}^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{4}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1 \\ \frac{4}{b^{2}} = 1 \end{matrix}$ Da cui $b^{2} = 4$ e $\frac{4}{a^{2}} = 1 - \frac{1}{b^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow a^{2} = \frac{16}{3}$ L'equazione dell'ellisse è: $\frac{3 x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ I fuochi dell'ellisse $F_{1} (- \frac{2}{3} \sqrt{3}; 0)$ e $F_{2} (\frac{2}{3} \sqrt{3}; 0)$

L'area del trapezio è:

${Area}_{Trapezio} = \frac{\bar{EF} + \bar{F_{1} F_{2}}}{2} \cdot y_{E} = \frac{4 + \frac{4}{3} \sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{2}{3} \cdot (3 + \sqrt{3}) ≃ 3.15$

L'area del triangolo è:

${Area}_{Trinagolo} = \frac{\bar{AC} \cdot \bar{BD}}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Rapporto:

$r = \frac{{Area}_{Triangolo}}{{Area}_{Trapezio}} = \frac{24}{\frac{2}{3} (3 + \sqrt{3})} = 36 \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3} = 6 (3 - \sqrt{3})$