N° 4 ELLISSI

Un’ellisse canonica passa per i punti

A (\frac{3}{2}; \frac{3}{2})

B (\frac{3}{7}; - \frac{12}{7})

. Determinare:

l'equazione dell'ellisse e le coordinate dei vertici e dei fuochi;
l'equazione della tangente t all'ellisse in B;
il punto Q d'intersezione delle due rette r_AD, r_EB essendo E e D rispettivamente gli estremi dell’asse maggiore di ascissa negativa e positiva;
l'equazione della parallela a r_BD passante per Q e, detto C il punto simmetrico di B rispetto ad O(0;0),
verificare che la retta r_CA e la retta t s'incontrano su tale parallela.


Imponiamo che l'ellisse passi per A e B: ${\begin{matrix} \frac{\frac{9}{4}}{a^{2}} + \frac{\frac{9}{4}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{\frac{9}{49}}{a^{2}} + \frac{\frac{144}{49}}{b^{2}} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{4}{9} \\ \frac{1}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = \frac{49}{9} \end{matrix} \Rightarrow$ $\frac{4}{9} - \frac{1}{b^{2}} = \frac{49}{9} - \frac{16}{b^{2}} \Rightarrow \frac{15}{b^{2}} = 5 \Rightarrow b^{2} = 3$ $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{9} - \frac{1}{b^{2}} = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} \Rightarrow a^{2} = 9$ L'equazione dell'ellisse è: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ Vertici: $D (3; 0)$ e $E (- 3; 0)$ Fuochi: $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$ . $F_{1} (\sqrt{6}; 0)$ e $F_{2} (- \sqrt{6}; 0)$ La tangente t per B si ricava con la formula di sdoppiamento: $\frac{x_{B} x}{9} + \frac{y_{B} y}{3} = 1 \Rightarrow \frac{x}{21} - \frac{4}{7} y = 1 \Rightarrow x - 12 y - 21 = 0$

Retta R_AD:

$\frac{x - x_{A}}{x_{D} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{D} - y_{A}} \Rightarrow \frac{x - \frac{3}{2}}{3 - \frac{3}{2}} = \frac{y - \frac{3}{2}}{0 - \frac{3}{2}} \Rightarrow \frac{2 x - 3}{3} = \frac{2 y - 3}{- 3} \Rightarrow x + y - 3 = 0$

Retta R_EB:

$\frac{x - x_{B}}{x_{E} - x_{B}} = \frac{y - y_{B}}{y_{E} - y_{B}} \Rightarrow \frac{x - \frac{3}{7}}{- 3 - \frac{3}{7}} = \frac{y + \frac{12}{7}}{0 + \frac{12}{7}} \Rightarrow \frac{7 x - 3}{- 24} = \frac{7 y + 12}{12} \Rightarrow 7 x - 3 + 14 y + 24 = 0 \Rightarrow x + 2 y + 3 = 0$

Punto di intersezione Q: ${\begin{matrix} x + y - 3 = 0 \\ x + 2 y + 3 = 0 \end{matrix} \Rightarrow y_{Q} = - 6$ e $x_{Q} = 9$

Coefficiente angolare di r_BD : $m_{BD} = \frac{y_{B} - y_{D}}{x_{B} - x_{D}} = \frac{- \frac{12}{7} - 0}{\frac{3}{7} - 3} = \frac{2}{3}$

Retta s parallela a r_BD passante per Q : $s : y - y_{Q} = m_{BD} \cdot (x - x_{Q}) \Rightarrow y + 6 = \frac{2}{3} (x - 9) \Rightarrow 2 x - 3 y - 36 = 0$

Punto C simmetrico di B rispetto O(0;0): $C (- x_{B}; - y_{B}) \Rightarrow C (- \frac{3}{7}; \frac{12}{7})$

Retta r_CA:

$\frac{x - x_{A}}{x_{C} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{C} - y_{A}} \Rightarrow \frac{x - \frac{3}{2}}{- \frac{3}{7} - \frac{3}{2}} = \frac{y - \frac{3}{2}}{\frac{12}{7} - \frac{3}{2}} \Rightarrow \frac{2 x - 3}{- 27} = \frac{2 y - 3}{3} \Rightarrow 2 x - 3 + 18 y - 27 = 0 \Rightarrow x + 9 y - 15 = 0$

Punto di incontro di r_CA e t: ${\begin{matrix} x + 9 y - 15 = 0 \\ x - 12 y - 21 = 0 \end{matrix} \Rightarrow 21 y + 6 = 0 \Rightarrow y_{I} = - \frac{2}{7}$ e $x_{I} = 12 y_{I} + 21 = - \frac{2}{7} \cdot 12 + 21 = \frac{123}{7} ≃ 17.57$

Punto di incontro di s e t : ${\begin{matrix} 2 x - 3 y - 36 = 0 \\ x - 12 y - 21 = 0 \end{matrix} \Rightarrow - 3 y + 24 y - 36 + 42 = 0 \Rightarrow y_{I} = - \frac{6}{21} = - \frac{2}{7}$