N° 5 ELLISSI

Scrivere l'equazione dell'ellisse canonica sapendo che essa passa per i punti P e Q della retta

2 x + 5 y - 18 = 0

di ordinata rispettivamente 3 e 2 .

Determinare l'equazione delle tangenti t e r all'ellisse nel punto P e nel punto Q;
determinare l'intersezione R delle tangenti;
determinare infine l'area del triangolo PRQ

Determiniamo le ascisse die punti P e Q:

${\begin{matrix} 2 x_{P} + 5 y_{P} - 18 = 0 \Rightarrow 2 x_{P} + 5 \cdot 3 - 18 \Rightarrow x_{P} = \frac{3}{2} \\ 2 x_{Q} + 5 y_{Q} - 18 = 0 \Rightarrow 2 x_{Q} + 5 \cdot 2 - 18 = 0 \Rightarrow x_{Q} = 4 \end{matrix}$

I punti sono $P (\frac{3}{2}; 3)$ e $Q (4; 2)$

Imponiamo all'ellisse di passare per P e Q:

${\begin{matrix} \frac{\frac{9}{4}}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1 \\ \frac{16}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = \frac{4}{9} \\ \frac{16}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \end{matrix}$

Sottraendo la seconda dalla prima:

$\frac{1}{a^{2}} - \frac{16}{a^{2}} = \frac{4}{9} - 1 \Rightarrow \frac{15}{a^{2}} = \frac{5}{9} \Rightarrow a^{2} = 27$

da cui $\frac{4}{b^{2}} = \frac{4}{9} - \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{9} - \frac{1}{27} = \frac{11}{27} \Rightarrow b^{2} = \frac{108}{11}$

L'equazione dell'ellisse : $\frac{x^{2}}{27} + \frac{11 y^{2}}{108} = 1$

Le equazioni delle tangenti in P e Q possono essere trovate con le formule di sdoppiamento:

${\begin{matrix} \frac{x_{P} x}{27} + \frac{11 y_{P} y}{108} = 1 \\ \frac{x_{Q} x}{27} + \frac{11 y_{Q} y}{108} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{x}{19} + \frac{11 y}{36} = 1 \\ \frac{4 x}{27} + \frac{11 y}{54} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} t : 36 x + 209 y - 684 = 0 \\ r : 8 x + 11 y - 54 = 0 \end{matrix}$

L'intersezione tra le tangenti: ${\begin{matrix} 36 x + 209 y - 684 = 0 \\ 8 x + 11 y - 54 = 0 \end{matrix}$ .

Sottraendo dalla prima 19 volte la seconda:

$36 x + 209 y - 684 - 152 x - 209 y + 1026 = 0 \Rightarrow 116 x = 342 \Rightarrow x_{R} = \frac{171}{58} ≃ 2.95$ e $y_{R} = \frac{54 - 8 x_{R}}{11} = \frac{54 - 8 \cdot \frac{171}{58}}{11} = \frac{1566 - 684}{29 \cdot 11} = \frac{882}{319} ≃ 2.76$

Per l'area del triangolo calcoliamo la base PQ:

$\bar{PQ} = \sqrt{{(x_{P} - x_{Q})}^{2} + {(y_{P} - y_{Q})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{3}{2} - 4)}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{4} + 1} = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Poi l'altezza come distanza da punto $R (\frac{171}{58}; \frac{882}{319})$ dalla retta $2 x + 5 y - 18 = 0$ :

$h = \frac{∣ 2 \cdot \frac{171}{58} + 5 \cdot \frac{882}{319} - 18 ∣}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{∣ \frac{171}{29} + 5 \cdot \frac{882}{319} - 18 ∣}{\sqrt{29}} = \frac{∣ 1881 + 4410 - 5742 ∣}{319 \sqrt{29}} = \frac{549}{319 \sqrt{29}}$

Infine l'area:

$Area = \frac{\bar{PQ} \cdot h}{2} = \frac{549}{319 \sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{549}{1276} ≃ 0.43$