N° 6 ELLISSI

Un'ellisse con centro nell'origine e con i fuochi sull'asse x ha eccentricità

\frac{2}{\sqrt{7}}

e passa per il punto

A (- \frac{4}{3}; \frac{\sqrt{5}}{2})

Determina la sua equazione e calcola l'area del triangolo inscritto nell'ellisse,
sapendo che due vertici del triangolo hanno ascissa 2/3 e il terzo è il vertice dell'ellisse sul semiasse negativo delle x.

Se i fuochi sono nell'asse delle ascisse l'eccentricità è data dalla formula:

e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{7}} \Rightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{4}{7} \Rightarrow 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{4}{7} \Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{7}

L'ellisse passa per il punto

A (- \frac{4}{3}; \frac{\sqrt{5}}{2})

.
Sostituiamo le coordinate del punto:

\frac{\frac{16}{9}}{a^{2}} + \frac{\frac{5}{4}}{b^{2}} = 1

Poniamo le due condizioni in un sistema:

\{\begin{matrix} \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{7} \\ \frac{\frac{16}{9}}{a^{2}} + \frac{\frac{5}{4}}{b^{2}} = 1 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} b^{2} = \frac{3}{7} a^{2} \\ \frac{64}{a^{2}} + \frac{45}{b^{2}} = 36 \end{matrix} \Rightarrow \frac{64}{a^{2}} + \frac{105}{a^{2}} = 36 \Rightarrow a^{2} = \frac{169}{36}

da cui anche il semiasse b:

b^{2} = \frac{3}{7} a^{2} = \frac{3}{7} \cdot \frac{169}{36} = \frac{169}{84}

L'equazione dell'ellisse è:

36 x^{2} + 84 y^{2} = 169

Il triangolo, a causa della simmetria dell'ellisse, deve essere isoscele.
Le ordinate dei punti di base si ottengono dall'equazione dell'ellisse:

36 x^{2} + 84 y^{2} = 169 \Rightarrow 36 \cdot \frac{4}{9} + 84 y^{2} = 169 \Rightarrow 84 y^{2} = 169 - 16 = 153 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{153}{84}}

L'altezza del triangolo è:

h = a + \frac{2}{3} = \frac{13}{6} + \frac{2}{3} = \frac{13 + 4}{6} = \frac{17}{6}

Quindi l'area del triangolo è:

Area = y \cdot h = \sqrt{\frac{153}{84}} \cdot \frac{17}{6} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{51}{7}} \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \cdot \sqrt{\frac{51}{7}}