Data l'ellisse di equazione x 2 25 + y 2 9 = 1 , scrivi le equazioni delle rette passanti per il vertice di ascissa negativa e che distano 3 dal centro dell'ellisse.
Detti P e P' i punti di intersezione delle rette trovate con le loro perpendicolari passanti per il centro dell'ellisse, calcola l'area del quadrilatero VP'OP.

Il vertice di ascissa negativa dell'ellisse è il punto A(-5,0).
Il fascio di rette proprio passante per questo punto è dato dall'equazione:

y − y A = m x − x A ⇒ y = m x + 5 ⇒ m x − y + 5 m = 0
La distanza tra questa generica retta e l'origine O(0;0) deve essere 3.
Quindi occorre imporre la condizione:

3 = m ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 + 5 m 1 + m 2 = 5 m 1 + m 2 ⇒ 9 1 + m 2 = 25 m 2 ⇒ ⇒ 9 + 9 m 2 = 25 m 2 ⇒ 16 m 2 = 9 ⇒ m = ± 3 4
Le equazioni delle due rette sono :

y = 3 4 x + 15 4 y = − 3 4 x − 15 4
Le rette perpendicolari passanti per l'origine alle due rette precedenti hanno equazione:
y = − 4 3 x y = 4 3 x
Troviamo il punto di intersezione P:

y = − 4 3 x y = 3 4 x + 15 4 ⇒ − 4 3 x = 3 4 x + 15 4 ⇒ − 4 3 + 3 4 x = 15 4 ⇒ ⇒ − 16 + 9 12 x = 15 4 ⇒ x P = − 15 4 ⋅ 12 25 = − 9 5   ;   y P = 4 3 ⋅ 9 5 = 12 5

e il punto di intersezione P':
y = 4 3 x y = − 3 4 x − 15 4 ⇒ 4 3 x = − 3 4 x − 15 4 ⇒ 4 3 + 3 4 x = − 15 4 ⇒ x P ' = − 9 5   ; y P ' = − 12 5
Il quadrilatero è composto da due triangoli rettangoli di base 5 e altezza 12/5.
L'area del quadrilatero VP'OP è:
Area VP ' OP = x V ⋅ y P = 5 ⋅ 12 5 = 12