Data l'ellisse con l'asse maggiore sull'asse x, di centro C(4;0), passante per l'origine e con eccentricità $e=\frac{\sqrt{7}}{4}$ considera un punto P nell'arco di ellisse che si trova nel primo quadrante.

• Esprimi $s={\overline{\mathrm{PC}}}^2+\frac{9}{16}{\overline{\mathrm{PH}}}^2$ , con H proiezione di P sull'asse y, in funzione dell'ascissa x di P. Traccia il grafico della funzione ottenuta.
• Per quale valore dell'ascissa di P viene assunto da s il valore minimo?
• Quanto vale s quando P si trova nei vertici dell'ellisse?

L'ellisse ha equazione:
$$\frac{{\left(x-x_C\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-y_C\right)}^2}{b^2}=1$$
In questo caso l'eccentricità è data dalla formula:
$$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$
Infine l'ellisse passa per l'origine quindi un'altra condizione è:
$$\frac{x_C^2}{a^2}+\frac{y_C^2}{b^2}=1$$

Sostituendo i dati si ha: $$\frac{16}{a^2}=1\Rightarrow a^2=16$$ $$a^2-b^2=7\Rightarrow b^2=a^2-7=16-7=9$$ Quindi l'equazione dell'ellisse è: $$\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$$ Sia il punto P di coordinate P(x,y). La distanza PC² è PC²= (x-4)² + y². La distanza PH² = x². Sostituendo nella funzione s si ottiene: $$s={\overline{\mathrm{PC}}}^2+\frac{9}{16}{\overline{\mathrm{PH}}}^2={\left(x-4\right)}^2+y^2+\frac{9}{16}{x}^2$$ Il punto P appartiene all'ellisse. Sostituiamo la y² nella funzione s: $$s={\left(x-4\right)}^2+9\left[1-\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}\right]+\frac{9}{16}{x}^2=\frac{7}{16}{\left(x-4\right)}^2+9+\frac{9}{16}{x}^2=$$ $$=\frac{7}{16}{x}^2+7-\frac{7}{2}x+9+\frac{9}{16}{x}^2=x^2-\frac{7}{2}x+16$$ La funzione ottenuta è una parabola. Il valore minimo di s è corrispondente al vertice. Quindi: $$x_V=-\frac{-\raisebox{1ex}{$7$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}{2}=\frac{7}{4}$$ Le ascisse dei vertici sono x= 0, x= 4 e x= 8, i corrispondenti valori di s sono s= 16, s= 18 e s= 52.