IPERBOLI

  1. Scrivere l’equazione dell’iperbole avente un fuoco nel punto ( 2 5 ; 0 ) e per asintoti le rette y = ± 2 x ; trovare l’equazione della tangente t all’iperbole nel punto del primo quadrante di ascissa uguale a 5 e calcolare la misura dell’area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asintoti.
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  1. L’iperbole equilatera di equazione xy = k è tangente alla retta y = 3 2 x 6 . Che valore ha la costante k ? Una seconda iperbole canonica passa per il punto della prima iperbole di ascissa 3 ed ha per asintoti le rette y = ± 4 3 3 x . Determinare:
    • l'equazione della seconda iperbole;
    • le coordinate dei fuochi della seconda iperbole;
    • la misura dell'area del triangolo avente per vertici i fuochi della prima iperbole e un fuoco della seconda.
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  1. Un’iperbole equilatera canonica passa per il punto A(3;1). Determinare l’equazione dell’iperbole e le coordinate dei fuochi. Un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo retto in A(3;1), il vertice B nel punto dell’iperbole di ascissa 9/2 e ordinata positiva e il vertice C appartenente all’iperbole. Determinare l’area del triangolo. Determinare infine l’equazione della tangente t in A alliperbole e verificare che tale tangente risulta perpendicolare all’ipotenusa del triangolo ABC.
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  1. Data l’iperbole avente i fuochi nei punti (±3; 0) e i vertici nei punti ( ± 5 ; 0 ) , calcolare la misura dell’area del quadrilatero i cui lati sono tangenti all’iperbole e perpendicolari agli asintoti.
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  1. Dopo aver determinato l'equazione dell'iperbole avente centro nell'origine O del sistema di riferimento, un fuoco di coordinate F 0 ; 39 e passante per il punto A(2; 6), calcola l'equazione degli asintoti, determina l'eccentricità e rappresenta la curva. Considera poi la retta di equazione generica y = k, che interseca l'iperbole in B e in C, e trova per quale valore di k il triangolo BCO ha area uguale a 12.
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    • Scrivi l'equazione dell'iperbole avente vertici reali (±3;0) e passante per il punto (-5; -8/3), individuandone gli asintoti.
    • Trova le equazioni delle tangenti all'iperbole mandate dal punto P dell'asse y di ordinata. Siano A e B i punti di tangenza.
    • Calcola l'area del quadrilatero AOBP, dove O è l'origine del sistema di riferimento.
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  1. Dopo aver determinato l'equazione dell'iperbole avente centro nell'origine O del sistema di riferimento, un fuoco di coordinate F 0 ; 39 e passante per il punto A(2;6), calcola l'equazione degli asintoti, determina l'eccentricità e rappresenta la curva. Considera poi la retta di equazione generica y = k, che interseca l'iperbole in B e in C, e trova per quale valore di k il triangolo BCO ha area uguale a 12.
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    • Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera avente i vertici sull'asse y e passante per il punto A di coordinate(3;-5).
    • Sia B il simmetrico di A rispetto all'asse delle ascisse. Determina l'equazione della tangente t all'iperbole nel punto B.
    • Calcola l'area della parte di piano individuata dalla retta t, dall'asse delle ascisse e dall'asintoto dell'iperbole avente coefficiente angolare positivo.
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    • Determina l'equazione dell'iperbole riferita ai propri assi che ha un fuoco nel punto F 2 5 ; 0 ed eccentricità e = 5 2
    • Nel fascio improprio di rette aventi coefficiente angolare 2 determina le rette p1 e p2 tangenti all'iperbole e calcola le coordinate dei punti P e Q di tangenza.
    • Indicati con R e S i punti in cui p1 e p2 intersecano l'asse delle ordinate, calcola l'area del quadrilatero PSQR.
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  1. L'iperbole a, con i fuochi sull'asse delle ascisse, ha il semiasse trasverso di lunghezza 5/2 e gli asintoti di equazioni 2 x 3 ± 3 y = 0 , mentre la circonferenza b ha raggio 1 e centro nell'origine degli assi.
    • Determina le equazioni di a e b.
    • Trova le equazioni delle quattro tangenti comuni ad a e b e calcola le coordinate dei quattro punti di tangenza con l'iperbole.
    • Trova l'area del quadrilatero individuato dalle quattro tangenti.
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