N° 1 IPERBOLI

Scrivere l’equazione dell’iperbole avente un fuoco nel punto

(2 \sqrt{5}; 0)

e per asintoti le rette

y = \pm 2 x

; trovare l’equazione della tangente t all’iperbole nel punto del primo quadrante di ascissa uguale a

\sqrt{5}

e calcolare la misura dell’area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asintoti.


Se l'iperbole ha fuoco in $(2 \sqrt{5}; 0)$ allora $c = 2 \sqrt{5}$ Dalla conoscenza degli asintoti si ha $b = 2 a$ Sostituendo nella relazione $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ si ricava $a^{2}$ : $4 \cdot 5 = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2} \Rightarrow a^{2} = 4$ e $b^{2} = 16$ . L'equazione dell'iperbole è : $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ Se l'ascissa del punto Q è $\sqrt{5}$ , sostituendo: $\frac{5}{4} - \frac{y_{Q}^{2}}{16} = 1 \Rightarrow y_{Q} = \pm 4 \sqrt{\frac{5}{4} - 1} = \pm 4 \cdot \frac{1}{2} = \pm 2$ Il punto richiesto è $Q (\sqrt{5}; 2)$ Gli asintoti hanno equazione $y = \pm \frac{4}{2} x = \pm 2 x$ La tangente può essere trovata con la formula di sdoppiamento:

$\frac{x x_{Q}}{4} - \frac{y y_{Q}}{16} = 1 \Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{4} x - \frac{y}{8} = 1 \Rightarrow 2 \sqrt{5} x - y - 8 = 0$

Intesezione A tra l'asintoto y=2x e la tangente: $2 \sqrt{5} x_{A} - 2 x_{A} - 8 = 0 \Rightarrow x_{A} = \frac{4}{\sqrt{5} - 1} = \sqrt{5} + 1 ≃ 3.24$ e $y_{A} = 2 (\sqrt{5} + 1)$

Intesezione C tra l'asintoto y=-2x e la tangente: $2 \sqrt{5} x_{C} + 2 x_{C} - 8 = 0 \Rightarrow x_{C} = \frac{4}{\sqrt{5} + 1} = \sqrt{5} - 1 ≃ 1.24$ e $y_{C} = - 2 (\sqrt{5} - 1)$

Lunghezza del segmento AC:

$\bar{AC} = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1)}^{2} + {(2 \sqrt{5} + 2 + 2 \sqrt{5} - 2)}^{2}} = \sqrt{4 + 16 \cdot 5} = 2 \sqrt{21}$

L'altezza è la distanza dall'origine e la tangente $2 \sqrt{5} x - y - 8 = 0$ :

$h = \frac{∣ 8 ∣}{\sqrt{20 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$

L'area del triangolo è:

$Area = \frac{\bar{AC} \cdot h}{2} = \frac{2 \sqrt{21}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{21}} = 8$