L'iperbole a, con i fuochi sull'asse delle ascisse, ha il semiasse trasverso di lunghezza 5/2 e gli asintoti di equazioni $2x\sqrt{3}\pm 3y=0$ , mentre la circonferenza b ha raggio 1 e centro nell'origine degli assi.

• Determina le equazioni di a e b.
• Trova le equazioni delle quattro tangenti comuni ad a e b e calcola le coordinate dei quattro punti di tangenza con l'iperbole.
• Trova l'area del quadrilatero individuato dalle quattro tangenti.

L'equazione della circonferenza è immediata:
$$x^2+y^2=1$$
L'iperbole ha semiasse trasverso lungo 5/2. Quindi a= 5/2 e a²= 25/4.
Il coefficiente angolare degli asintoti ha modulo 2√3/3 e deve essere uguale, in modulo, a b/a. Si ricava che b= 5/√3.
L'equazione dell'iperbole è:
$$\frac{x^2}{\raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}-\frac{y^2}{\raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}=1$$
Formiamo il sistema della generica retta, l'iperbole e la circonferenza:

$$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{x^2}{\raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}-\frac{y^2}{\raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}=1\\ x^2+y^2=1\end{array}\\ y=mx+q\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}4x^2-3{\left(mx+q\right)}^2=25\\ x^2+{\left(mx+q\right)}^2=1\end{array}\\ y=mx+q\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}4x^2-3m^2{x}^2-6mqx-3q^2-25=0\\ x^2+m^2{x}^2+2mqx+q^2-1=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\left(4-3m^2\right)x^2-6mqx-\left(3q^2+25\right)=0\\ \left(1+m^2\right)x^2+2mqx+\left(q^2-1\right)=0\end{array}\right.\right.\right.$$
Per imporre la condizione di tangenza poniamo il discriminante uguale a zero in ambedue le equazioni:

$$\left\{\begin{array}{c}9m^2{q}^2+\left(4-3m^2\right)\left(3q^2+25\right)=0\\ m^2{q}^2-\left(1+m^2\right)\left(q^2-1\right)=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}9m^2{q}^2+12q^2+100-9m^2{q}^2-75m^2=0\\ m^2{q}^2-q^2-m^2{q}^2+1+m^2=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}12q^2-75m^2+100=0\\ q^2=1+m^2\end{array}\right.\Rightarrow \right.\right.$$ $$\Rightarrow 12\left(1+m^2\right)-75m^2+100=0\Rightarrow 12+12m^2-75m^2+100=0\Rightarrow 63m^2-112=0\Rightarrow m^2=\frac{112}{63}=\frac{16}{9}\hspace{1em};\hspace{1em}{q}^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$$