N° 2 IPERBOLI

L’iperbole equilatera di equazione

xy = k

è tangente alla retta

y = \frac{3}{2} x - 6

. Che valore ha la costante k ? Una seconda iperbole canonica passa per il punto della prima iperbole di ascissa 3 ed ha per asintoti le rette

y = \pm \frac{4}{3 \sqrt{3}} x

. Determinare:

l'equazione della seconda iperbole;
le coordinate dei fuochi della seconda iperbole;
la misura dell'area del triangolo avente per vertici i fuochi della prima iperbole e un fuoco della seconda.


Basta imporre la condizione di tangenza sul discriminante generato dal loro sistema: $x \cdot (\frac{3}{2} x - 6) = k \Rightarrow 3 x^{2} - 12 x - 2 k = 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow \frac{Δ}{4} = 36 + 6 k = 0 \Rightarrow k = - 6$ Da cui l'equazione dell'iperbole: $γ_{1} : y = - \frac{6}{x}$ Il punto in cui l'iperbole γ₁ ha ascissa 3 è $A (3; - 2)$ , con la conoscenza degli asintoti si può scrivere il sistema per i parametri dell'iperbole: ${\begin{matrix} \frac{9}{a^{2}} - \frac{4}{b^{2}} = 1 \\ \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{16}{27} \end{matrix} \Rightarrow b^{2} = \frac{16}{27} a^{2} \Rightarrow$ $\Rightarrow \frac{9}{a^{2}} - \frac{27}{4 a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{9}{4}$ da cui $b^{2} = \frac{16}{27} \cdot a^{2} = \frac{16}{27} \cdot \frac{9}{4} = \frac{4}{3}$ e $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{43}{12}}$ La seconda iperbole ha equazione: $γ_{2} : \frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} - \frac{y^{2}}{\frac{4}{3}} = 1$ I fuochi di γ₂: $F_{21} (\sqrt{\frac{43}{12}}; 0)$ e $F_{22} (- \sqrt{\frac{43}{12}}; 0)$ .

Per trovare i fuochi della prima iperbole si può osservare che sono legati ai vertici dalla formula: $c = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ e che, come i vertici, devono appartenere alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Con queste considerazioni troviamo i vertici ponendo a sistema iperbole e bisettrice del secondo e quarto quadrante:

${\begin{matrix} y = - \frac{6}{x} \\ y = - x \end{matrix} \Rightarrow x = \frac{6}{x} \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}$

Da cui $a = \sqrt{6}$ . Allora i fuochi della prima iperbole devono essere $F_{11} (\sqrt{12}; - \sqrt{12})$ e $F_{12} (- \sqrt{12}; \sqrt{12})$

Per trovare l'area del triangolo prima troviamo la base F₁₁F₁₂:

$\bar{F_{11} F_{12}} = \sqrt{{2 \cdot (\sqrt{12} + \sqrt{12})}^{2}} = \sqrt{8 \cdot 12} = 4 \sqrt{6}$

Poi l'altezza, che è la distanza del fuoco della seconda iperbole $F_{21} (\sqrt{\frac{43}{12}}; 0)$ dalla bisettrice del II e IV quadrante x+y=0, :

$h = \frac{∣ \sqrt{\frac{43}{12}} ∣}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{43}{24}}$

Da cui l'area richiesta:

$Area = \frac{\bar{F_{11} F_{12}} \cdot h}{2} = 4 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{43}}{\sqrt{24}} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{43} ≃ 6.56$