N° 3 IPERBOLI

Un’iperbole equilatera canonica passa per il punto A(3;1). Determinare l’equazione dell’iperbole e le coordinate dei fuochi. Un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo retto in A(3;1), il vertice B nel punto dell’iperbole di ascissa 9/2 e ordinata positiva e il vertice C appartenente all’iperbole. Determinare l’area del triangolo. Determinare infine l’equazione della tangente t in A all'iperbole e verificare che tale tangente risulta perpendicolare all’ipotenusa del triangolo ABC.


L'iperbole equilatera canonica ha equazione: $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ Se passa per il punto A(3;1): $9 - 1 = a^{2} \Rightarrow a^{2} = 8$ L'equazione dell'iperbole è: $γ : x^{2} - y^{2} = 8$ Le coordinate dei fuochi: $c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \pm \sqrt{2 a^{2}} = \pm \sqrt{16} = \pm 4$ L'ordinata del punto B: $y_{B} = \sqrt{x_{B}^{2} - a^{2}} = \sqrt{\frac{81}{4} - 8} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$ Il coefficiente angolare della retta per AB è: $r_{AB} : m_{AB} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{\frac{7}{2} - 1}{\frac{9}{2} - 3} = \frac{5}{3}$ La perpendicolare n in A: $y - y_{A} = - \frac{1}{m_{AB}} \cdot (x - x_{A}) \Rightarrow y - 1 = - \frac{3}{5} \cdot (x - 3) \Rightarrow$ $\Rightarrow 5 y - 5 + 3 x - 9 \Rightarrow 3 x + 5 y - 14 = 0$ La retta n incontra l'iperbole in A e in C: ${\begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 8 \\ 3 x + 5 y - 14 = 0 \end{matrix}$ Da cui:

$y = - \frac{3}{5} x + \frac{14}{5} \Rightarrow x^{2} - {(- \frac{3}{5} x + \frac{14}{5})}^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} - \frac{9}{25} x^{2} - \frac{196}{25} + \frac{84}{25} x - 8 = 0 \Rightarrow \frac{16}{25} x^{2} + \frac{84}{25} x - \frac{396}{25} = 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 21 x - 99 = 0$

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 1584}}{8} = \frac{- 21 \pm 45}{8} = {\begin{matrix} x_{A} = \frac{- 21 + 45}{8} = \frac{24}{8} = 3 \\ x_{C} = \frac{- 21 - 45}{8} = - \frac{66}{8} = - \frac{33}{4} ≃ - 8.25 \end{matrix}$

e $y_{C} = - \frac{3}{5} x_{C} + \frac{14}{5} = - \frac{3}{5} \cdot (- \frac{33}{4}) + \frac{14}{5} = \frac{99}{20} + \frac{14}{5} = \frac{56 + 99}{20} = \frac{155}{20} = \frac{31}{4} ≃ 7.75$

Adesso è possibile calcolare l'area del triangolo ABC:

$Area = \frac{\bar{AC} \cdot \bar{AB}}{2} = \frac{\sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} \cdot \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{{(3 + \frac{33}{4})}^{2} + {(1 - \frac{31}{4})}^{2}} \cdot \sqrt{{(3 - \frac{9}{2})}^{2} + {(1 - \frac{7}{2})}^{2}}}{2} =$

$= \frac{\sqrt{\frac{2025}{16} + \frac{729}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4}}}{2} = \frac{\frac{9}{4} \sqrt{34} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{34}}{2} = \frac{306}{16} = \frac{153}{8} ≃ 19.125$

L'equazione della tangente t all'iperbole nel punto A (formula di sdoppiamento):

$x x_{A} - y y_{A} = 8 \Rightarrow 3 x - y - 8 = 0$

Coefficiente angolare di t: $m_{t} = 3$

Coefficiente angolare della retta r_BC: $m_{BC} = \frac{y_{B} - y_{C}}{x_{B} - x_{C}} = \frac{\frac{7}{2} - \frac{31}{4}}{\frac{9}{2} + \frac{33}{4}} = - \frac{17}{51} = - \frac{1}{3}$