N° 4 IPERBOLI

Data l’iperbole avente i fuochi nei punti (±3; 0) e i vertici nei punti $(\pm \sqrt{5}; 0)$ , calcolare la misura dell’area del quadrilatero i cui lati sono tangenti all’iperbole e perpendicolari agli asintoti..


Per l'iperbole data $a^{2} = 5$ e $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 9 - 5 = 4$ L'equazione dell'iperbole è: $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ Asintoti: $y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} x = \pm \frac{2}{5} \sqrt{5} x$ Coefficienti angolari delle perpendicolari agli asintoti: $m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ Le due rette appartengono ai fasci: ${\begin{matrix} y = \frac{\sqrt{5}}{2} x + q_{1} \\ y = - \frac{\sqrt{5}}{2} x + q_{2} \end{matrix}$ Prima condizione di tangenza: $\frac{x^{2}}{5} - \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{2} x + q_{1})}^{2}}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{5} - \frac{5}{16} x^{2} - \frac{q_{1}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4} q_{1} x = 1 \Rightarrow$ $\Rightarrow 16 x^{2} - 25 x^{2} - 20 q_{1}^{2} - 20 \sqrt{5} q_{1} x - 80 = 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow 9 x^{2} + 20 \sqrt{5} q_{1} x + 80 + 20 q_{1}^{2} = 0$ Posto il discriminante nullo:

$\frac{Δ}{4} = 500 q_{1}^{2} - 720 - 180 q_{1}^{2} = 0 \Rightarrow 320 q_{1}^{2} = 720 \Rightarrow q_{1}^{2} = \frac{72}{32} = \frac{9}{4} \Rightarrow q_{1} = \pm \frac{3}{2}$

Due rette tangenti nei due rami dell'iperbole: ${\begin{matrix} r_{1 :} y = \frac{\sqrt{5}}{2} x + \frac{3}{2} \\ r_{2 :} y = \frac{\sqrt{5}}{2} x - \frac{3}{2} \end{matrix}$

Le ascisse dei punti di tangenza sono $x_{AB} = \frac{- 10 \sqrt{5} (\pm \frac{3}{2})}{9} = \mp \frac{5}{3} \sqrt{5}$

I punti di tangenza : $A (- \frac{5}{3} \sqrt{5}; - \frac{8}{3})$ e $B (\frac{5}{3} \sqrt{5}; \frac{8}{3})$

Gli altri due punti possono essere ricavati mediante una simmetria assale rispetto l'asse x: $C (- \frac{5}{3} \sqrt{5}; \frac{8}{3})$ e $D (\frac{5}{3} \sqrt{5}; - \frac{8}{3})$

Il quadrilatero è un rettangolo : $Area = 4 \cdot x_{B} \cdot y_{B} = 4 \cdot \frac{5}{3} \sqrt{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{160}{9} \sqrt{5} ≃ 39.75$