Dopo aver determinato l'equazione dell'iperbole avente centro nell'origine O del sistema di riferimento, un fuoco di coordinate F 0 ; 39 e passante per il punto A(2; 6), calcola l'equazione degli asintoti, determina l'eccentricità e rappresenta la curva. Considera poi la retta di equazione generica y = k, che interseca l'iperbole in B e in C, e trova per quale valore di k il triangolo BCO ha area uguale a 12.


In base alla posizione del fuoco l'iperbole è descritta dall'equazione:
x 2 a 2 − y 2 b 2 = − 1
Il semiasse trasverso, il semiasse non trasverso e la posizione del fuoco sono legati dall'equazione:

c 2 = a 2 + b 2
In questo caso:
a 2 + b 2 = 39
L'iperbole passa per il punto A(2;6):
4 a 2 − 36 b 2 = − 1
Risolviamo il sistema:
4 a 2 − 36 b 2 = − 1 a 2 + b 2 = 39 ⇒ 4 a 2 − 36 b 2 = − 1 b 2 = 39 − a 2 ⇒ 4 a 2 − 36 39 − a 2 = − 1 ⇒ 156 − 4 a 2 − 36 a 2 = − 39 a 2 + a 4 ⇒ a 4 + a 2 − 156 = 0 ⇒
a 4 + a 2 − 156 = 0 ⇒ a 2 = − 1 ± 1 + 624 2 = − 1 ± 25 2 = − 1 + 25 2 = 12 b 2 = 39 − a 2 = 39 − 12 = 27
L'equazione dell'iperbole è quindi:
x 2 12 − y 2 27 = − 1
Le equazioni degli asintoti sono:

y = ± b a x = ± 27 12 x = ± 3 2 x
L'eccentricità è:

e = c b = 39 27 = 13 3
Supponiamo k>0 . Le ascisse dei punti B e C sono date da:

x 2 12 − k 2 27 = − 1 ⇒ x 2 12 = k 2 27 − 1 ⇒ x 2 = 12 27 k 2 − 12 ⇒ x = ± 12 27 k 2 − 12
L'area del triangolo BCO è data da:

Area = BC ⋅ y BC 2 = 2 k 12 27 k 2 − 12 2 = k 12 27 k 2 − 12
Se posta uguale a 12 permette di ricavare il parametro k:

k 12 27 k 2 − 12 = 12 ⇒ k 2 12 27 k 2 − 12 = 144 ⇒ 12 27 k 4 − 12 k 2 − 144 = 0 ⇒ ⇒ k 4 − 27 k 2 − 324 = 0 ⇒ k 2 = 27 ± 729 + 1296 2 = 27 ± 45 2 = 36 ⇒ k = 6