N° 6 IPERBOLI

Scrivi l'equazione dell'iperbole avente vertici reali (±3;0) e passante per il punto (-5; -8/3), individuandone gli asintoti.
Trova le equazioni delle tangenti all'iperbole mandate dal punto P dell'asse y di ordinata. Siano A e B i punti di tangenza.
Calcola l'area del quadrilatero AOBP, dove O è l'origine del sistema di riferimento.

Le posizioni dei vertici individuano la lunghezza del semiasse trasverso: a= 3.
Per trovare la lunghezza del semiasse non trasverso imponiamo che l'iperbole passi per il punto dato:

\frac{25}{9} - \frac{\frac{64}{9}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{64}{b^{2}} = 25 - 9 \Rightarrow b^{2} = \frac{64}{14} = 4

L'equazione dell'iperbole cercata è:

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1

Gli asintoti sono individuati dalle equazioni:

y = \pm \frac{2}{3} x

Per trovare le equazioni delle tangenti mandate dal punto P all'iperbole costruiamo il fascio di rette passanti per P e componiamo il sistema formato dall'iperbole e dal fascio di rette. Imponiamo infine il discriminante dell'equazione quadratica che troviamo uguale a zero:

\{\begin{matrix} y + \frac{3}{2} = m x \\ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{matrix} \Rightarrow \frac{x^{2}}{9} - \frac{{(m x - \frac{3}{2})}^{2}}{4} = 1 \Rightarrow 4 x^{2} - 9 m^{2} x^{2} - \frac{81}{4} + 27mx - 36 = 0 \Rightarrow

(4 - 9 m^{2}) x^{2} + 27mx - \frac{225}{4} = 0 \Rightarrow 729 m^{2} + 225 (4 - 9 m^{2}) = 0 \Rightarrow

\Rightarrow 1296 m^{2} = 900 \Rightarrow m^{2} = \frac{25}{36} \Rightarrow m = \pm \frac{5}{6}

Le equazioni delle rette tangenti sono:

\{\begin{matrix} y = \frac{5}{6} x - \frac{3}{2} \\ y = - \frac{5}{6} x - \frac{3}{2} \end{matrix}

Le ascisse dei punti di tangenza sono :

x_{AB} = - \frac{27 m}{2 (4 - 9 m^{2})} = \{\begin{matrix} x_{A} = - \frac{27 \cdot \frac{5}{6}}{2 (4 - 9 \cdot \frac{25}{36})} = \frac{\frac{45}{2}}{\frac{1}{2} \cdot 9} = 5 \\ x_{B} = - \frac{27 \cdot (- \frac{5}{6})}{2 (4 - 9 \cdot \frac{25}{36})} = \frac{- \frac{45}{2}}{\frac{1}{2} \cdot 9} = - 5 \end{matrix}

Le ordinate:

y_{AB} = \frac{5}{6} \cdot 5 - \frac{3}{2} = \frac{25 - 9}{6} = \frac{8}{3}

Il quadrilatero AOBP è formato da 2 triangoli di base |y_P| e altezza x_A.
L'area è:

Area = y_{P} \cdot x_{A} = \frac{3}{2} \cdot 5 = \frac{15}{2}