Dopo aver determinato l'equazione dell'iperbole avente centro nell'origine O del sistema di riferimento, un fuoco di coordinate F 0 ; 39 e passante per il punto A(2;6), calcola l'equazione degli asintoti, determina l'eccentricità e rappresenta la curva. Considera poi la retta di equazione generica y = k, che interseca l'iperbole in B e in C, e trova per quale valore di k il triangolo BCO ha area uguale a 12.


In base alla posizione del fuoco l'equazione dell'iperbole è del tipo:
x 2 a 2 − y 2 b 2 = − 1
Le lunghezze dei due semiassi sono legate alla posizione del fuoco con la relazione:

c 2 = a 2 + b 2 ⇒ 39 = a 2 + b 2
Imponendo che l'iperbole passi per il punto A si ottiene il sistema:

a 2 + b 2 = 39 4 a 2 − 36 b 2 = − 1 ⇒ b 2 = 39 − a 2 4 b 2 − 36 a 2 = − a 2 b 2 ⇒ 4 39 − a 2 − 36 a 2 = − a 2 39 − a 2 ⇒ 156 − 4 a 2 − 36 a 2 + 39 a 2 − a 4 = 0 ⇒ a 4 + a 2 − 156 = 0 ⇒ a 2 = − 1 ± 1 + 624 2 = − 1 ± 25 2 = 12   ;   b 2 = 39 − a 2 = 39 − 12 = 27
L'equazione dell'iperbole è:
x 2 12 − y 2 27 = − 1
Le equazioni degli asintoti sono:

y = ± b a x = ± 27 12 x = ± 3 2 x
L'eccentricità è:

e = c b = a 2 + b 2 b = 12 + 27 27 = 39 27 = 13 3
L'area del triangolo deve essere data da:

Area = k ⋅ x C − x B 2
I punti C e B appartengono all'iperbole, espicitiamoli in funzione di k:

x BC = ± 4 9 y 2 − 12 = ± 4 9 k 2 − 12
La base BC è:
BC = x C − x B = 2 4 9 k 2 − 12
Quindi l'area è:

Area = k ⋅ 4 9 k 2 − 12 = 12 ⇒ 144 = k 2 4 9 k 2 − 12 ⇒ k 4 − 27 k 2 − 324 = 0 k 2 = 27 ± 729 + 1296 2 = 27 ± 45 2 = 36
I valori di k allora sono due k= 6 e k=-6