N° 8 IPERBOLI

Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera avente i vertici sull'asse y e passante per il punto A di coordinate(3;-5).
Sia B il simmetrico di A rispetto all'asse delle ascisse. Determina l'equazione della tangente t all'iperbole nel punto B.
Calcola l'area della parte di piano individuata dalla retta t, dall'asse delle ascisse e dall'asintoto dell'iperbole avente coefficiente angolare positivo.

L'equazione di un'iperbole equilatera avente i vertici sull'asse y è:

x^{2} - y^{2} = - a^{2}

Il punto A appartiene all'iperbole:

9 - 25 = - a^{2} \Rightarrow a^{2} = 16

L'equazione dell'iperbole è:

x^{2} - y^{2} = - 16

Le coordinate del punto B devono essere x_B=3 e y_B=5.
Per trovare l'equazione della tangente possiamo usare la formula di sdoppiamento:

x x_{B} - y y_{B} = - 16 \Rightarrow 3 x - 5 y + 16 = 0

L'asintoto dell'iperbole con coefficiente angolare positivo è la bisettrice del primo e terzo quadrante.
La parte di piano in questione è l'area del triangolo di altezza uguale all'ordinata del punto di intersezione di t con l'asintoto e di base il valore assoluto dell'ascissa del punto di intersezione della tangente con l'asse delle ascisse.
Il punto C è dato dal sistema tra la tangente e l'asintoto:

3 x - 5 x + 16 = 0 \Rightarrow x_{C} = 8; y_{C} = 8

Il punto D :

3 x - 5 \cdot 0 + 16 = 0 \Rightarrow x_{D} = - \frac{16}{3}

L'area del triangolo è:

Area = \frac{y_{C} \cdot x_{D}}{2} = \frac{8 \cdot \frac{16}{3}}{2} = \frac{64}{3}