N° 9 IPERBOLI

Determina l'equazione dell'iperbole riferita ai propri assi che ha un fuoco nel punto $F (2 \sqrt{5}; 0)$ ed eccentricità $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$
Nel fascio improprio di rette aventi coefficiente angolare 2 determina le rette p₁ e p₂ tangenti all'iperbole e calcola le coordinate dei punti P e Q di tangenza.
Indicati con R e S i punti in cui p₁ e p₂ intersecano l'asse delle ordinate, calcola l'area del quadrilatero PSQR.

La posizione del fuoco indica che l'equazione dell'iperbole è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Nota la posizione del fuoco e l'eccentricità, i parametri a² e b² si trovano utilizzando le relazioni:

\{\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ e = \frac{c}{a} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} 20 = a^{2} + b^{2} \\ \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{a} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} b^{2} = 4 \\ a^{2} = 16 \end{matrix}

L'equazione dell'iperbole è:

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1

Il fascio improprio ha equazione:

y = 2 x + q

Per individuare le rette tangenti all'iperbole formiamo il sistema tra iperbole e retta generica e, eliminata la y, imponiamo il discriminante dell'equazione di secondo grado in x uguale a zero:

\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1 \\ y = 2 x + q \end{matrix} \Rightarrow \frac{x^{2}}{16} - \frac{{(2 x + q)}^{2}}{4} = 1 \Rightarrow 15 x^{2} + 16 q x + 4 q^{2} + 16 = 0 \Rightarrow

\Rightarrow 64 q^{2} - 15 \cdot (16 + 4 q^{2}) = 0 \Rightarrow q^{2} - 60 = 0 \Rightarrow q = \pm 2 \sqrt{15}

Le rette p₁ e p₂ hanno equazione:

\{\begin{matrix} y = 2 x + 2 \sqrt{15} \\ y = 2 x - 2 \sqrt{15} \end{matrix}

Le ascisse di P e Q sono :

\{\begin{matrix} x_{P} = \frac{- 8 q_{P}}{15} = \frac{- 8 \cdot 2 \sqrt{15}}{15} = - \frac{16}{15} \sqrt{15} \\ x_{Q} = \frac{- 8 q_{Q}}{15} = \frac{8 \cdot 2 \sqrt{15}}{15} = \frac{16}{15} \sqrt{15} \end{matrix}

Le ordinate di P e Q sono:

\{\begin{matrix} y_{P} = 2 x_{P} + 2 \sqrt{15} = 2 (- \frac{16}{15} \sqrt{15}) + 2 = - \frac{2}{15} \sqrt{15} \\ y_{Q} = 2 x_{Q} - 2 \sqrt{15} = 2 (+ \frac{16}{15} \sqrt{15}) - 2 = \frac{2}{15} \sqrt{15} \end{matrix}

I punti R ed S sono:

\{\begin{matrix} x_{R} = 0; y_{R} = 2 x_{R} + 2 \sqrt{15} = 2 \sqrt{15} \\ x_{Q} = 0; y_{Q} = 2 x_{Q} - 2 \sqrt{15} = - 2 \sqrt{15} \end{matrix}

Il quadrilatero è formato da due triangoli congruenti di base RS=y_R-y_s e altezza |x_PQ|:

{Area}_{PSQR} = (y_{R} - y_{S}) \cdot | x_{PQ} | = 4 \sqrt{15} \cdot \frac{16}{15} \sqrt{15} = 64