Considera la retta passante per A(1;3) e B(-1;-5). Determina su tale retta un punto C la cui ascissa è tripla dell'ordinata. Considera la retta parallela all'asse x passante per A e la retta parallela all'asse y passante per B. Determina il punto D di intersezione di queste due rette e calcola l'area del triangolo DAC.

1. Equazione della retta r passante per A e B.
   
   $\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\to \frac{y-3}{-5-3}=\frac{x-1}{-1-1}\to \frac{y-3}{8}=\frac{x-1}{2}\to y-3=4x-4\to y=4x-1$
   
   In forma implicita: $r:4x-y-1=0$
   
   
2. Condizione su C : $y_C=\frac{x_C}{3}$
3. Sistema con la retta r: $\{\begin{array}{c}{y}_C=\frac{x_C}{3}\\ y_C=4x_C-1\end{array}\to \frac{x_C}{3}=4x_C-1\to x_C=12x_C-3\to 11x_C=3\to x_C=\frac{3}{11}$
   da cui le cordinate del punto C: $(\frac{3}{11},\frac{1}{11})$
   
   
4. La retta t parallela all'asse x (y = y₀) passante per A: $t:y=3$
   
   
5. La retta s parallela all'asse y (x = x₀) passante per B: $s:x=-1$
   
   
6. Punto di intersezione delle rette t ed s : $D\left(-\mathrm{1,3}\right)$
   
   
7. La distanza punto del punto D dalla retta r (C appartiene alla retta r):
   
   $h=\frac{\mid a{x}_D+b{y}_D+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\mid 4·\left(-1\right)+\left(-1\right)·3-1\mid }{\sqrt{16+1}}=\frac{\mid -4-3-1\mid }{\sqrt{17}}=\frac{8}{\sqrt{17}}$
   
   
8. La lunghezza del segmento AC:
   
   $\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{{(x_A-x_C)}^2+{(y_A-y_C)}^2}=\sqrt{{\left(1-\frac{3}{11}\right)}^2+{\left(3-\frac{1}{11}\right)}^2}=\sqrt{\frac{64}{121}+\frac{1024}{121}}=\sqrt{\frac{1088}{121}}=\frac{8}{11}\sqrt{17}$
   
   
9. L'area del triangolo DAC: $\mathrm{area}=\frac{h·\overline{\mathrm{AC}}}{2}=\frac{8}{\sqrt{17}}·\frac{8}{11}\sqrt{17}·\frac{1}{2}=\frac{32}{11}$