N° 10 Rette e Punti

Data la retta r passante per i punti A(-5,5) e B(35,25), determina:

l'equazione della retta r;
il punto C appartenente alla retta r di ordinata 4;
l'equazione della retta s passante per il punto C e parallela alla bisettrice del III° e IV quadrante;
l'equazione della retta t perpendicolare a s e passante per il punto D appartenente ad s di ascissa -4;
il punto di intersezione E tra la retta t e la retta r;
il punto medio F del segmento CE;
il perimetro del triangolo FDC (R)

L'equazione della retta r;
Equazione della retta per due punti: $\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} \to \frac{x + 5}{35 + 5} = \frac{y - 5}{25 - 5} \to \frac{x + 5}{40} = \frac{y - 5}{20} \to x + 5 = 2 y - 10 \to r : x - 2 y + 15 = 0$
Il punto C appartenente alla retta r di ordinata 4;
L'ordinata è y_C= 4: $x_{C} - 2 \cdot y_{C} + 15 = 0 \to x_{C} - 2 \cdot 4 + 15 = 0 \to x_{C} = - 7$ . Il punto C: C(-7,4).
L'equazione della retta s passante per il punto C e parallela alla bisettrice del II° e IV quadrante;
Il coefficiente angolare è m_s= -1.

Retta per un punto: $y - y_{C} = m_{s} \cdot (x - x_{C}) \to y - 4 = - (x + 7) \to y = 4 - x - 7 \to s : y = - x - 3$
L'equazione della retta t perpendicolare a s e passante per il punto D appartenente ad s di ascissa -4;
Se la retta t è perpendicolare alla retta s, allora: $m_{t} = - \frac{1}{m_{s}} = - \frac{1}{- 1} = 1$

Il punto D ha coordinate x_D= -4 e y_D= 1 .

L'equazione della retta t: $y - y_{D} = m_{t} \cdot (x - x_{D}) \to y - 1 = 1 \cdot (x + 4) \to y - 1 = x + 4 \to t : y = x + 5$
Il punto di intersezione E tra la retta t e la retta r;
Occorre risolvere il sistema: ${\begin{matrix} y = x + 5 \\ y = \frac{1}{2} x + \frac{15}{2} \end{matrix} \to x + 5 = \frac{x}{2} + \frac{15}{2} \to x - \frac{x}{2} = \frac{15}{2} - 5 \to \frac{x}{2} = \frac{5}{2} \to x = 5$

Il punto E ha coordinate E(5,10)
Il punto medio F del segmento CE;
$x_{F} = \frac{x_{C} + x_{E}}{2} = \frac{- 7 + 5}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$ ; $y_{F} = \frac{y_{C} + y_{E}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$ . Il punto medio ha coordinate F(-1,7)
Il perimetro del triangolo FDC
$\bar{FD} = \sqrt{{(x_{F} - x_{D})}^{2} + {(y_{F} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 + 4)}^{2} + {(7 - 1)}^{2}} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 9} = 3 \sqrt{5}$

$\bar{CD} = \sqrt{{(x_{C} - x_{D})}^{2} + {(y_{C} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(- 7 + 4)}^{2} + {(4 - 1)}^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 9} = 3 \sqrt{2}$

$\bar{FC} = \sqrt{{(x_{F} - x_{C})}^{2} + {(y_{F} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 + 7)}^{2} + {(7 - 4)}^{2}} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 9} = 3 \sqrt{5}$

Da cui il perimetro: $p = \bar{FD} + \bar{CD} + \bar{FC} = 3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$