N° 11 Rette e Punti

Date due rette r: x - 2y + 8 = 0 e s: x - 4y + 20 = 0, determina:

il loro punto di intersezione E;
l'equazione della retta t passante per E e di coefficiente angolare m= 3;
Il punto F intercetta della retta t (ascissa 0);
L'equazione della retta v perpendicolare ad r e passante per F;
Il punto G di intersezione delle rette v ed r;
La distanza tra il punto G e la retta t;
L'area e il perimetro del triangolo EFG (R)

Il loro punto di intersezione E.
Occorre risolvere il sistema: ${\begin{matrix} x - 2 y + 8 = 0 \\ x - 4 y + 20 = 0 \end{matrix} \to {\begin{matrix} x = 2 y - 8 \\ x = 4 y - 20 \end{matrix} \to 2 y - 8 = 4 y - 20 \to 2 y = 12 \to y = 6$

Da cui $x = 2 \cdot 6 - 8 = 4$ . Il punto E cercato ha coordinate: E(4,6)
L'equazione della retta t passante per E e di coefficiente angolare m= 3.
Equazione di una retta passante per un punto:

$y - y_{E} = m \cdot (x - x_{E}) \to y - 6 = 3 \cdot (x - 4) \to y - 6 = 3 x - 12 \to t : y = 3 x - 6$
Il punto F intercetta della retta t (ascissa 0);
Posto x_F=0 si ha, sostituendo nell'equazione della retta t, y_F= -6. F(0,-6)
L'equazione della retta v perpendicolare ad r e passante per F;
Il coefficiente angolare della retta v è: $m_{v} = - \frac{1}{m_{r}} = - \frac{1}{\frac{1}{2}} = - 2$

L'equazione della retta v passante per F: $y - y_{F} = m_{v} \cdot (x - x_{F}) \to y + 6 = - 2 \cdot (x - 0) \to v : y = - 2 x - 6$
Il punto G di intersezione delle rette v ed r;
Occorre risolvere il sistema: ${\begin{matrix} y = - 2 x - 6 \\ y = \frac{x}{2} + 4 \end{matrix} \to - 2 x - 6 = \frac{x}{2} + 4 \to - 2 x - \frac{x}{2} = 6 + 4 \to - \frac{5}{2} x = 10 \to x = - 4$

Da cui $y_{G} = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$ . Il punto G ha coordinate: G(-4,2)
La distanza tra il punto G(-4,2) e la retta t: 3x - y - 6 =0;
Distanza punto-retta: $\bar{GH} = \frac{∣ a x_{G} + b y_{G} + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{∣ - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 - 6 ∣}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{∣ - 12 - 2 - 6 ∣}{\sqrt{10}} = \frac{20}{\sqrt{10}}$
L'area e il perimetro del triangolo EFG.
Sia E che F appartengono alla retta t. Quindi l'area è : $Area = \frac{\bar{EF} \cdot \bar{GH}}{2}$

Lunghezza del segmento EF: $\bar{EF} = \sqrt{{(x_{E} - x_{F})}^{2} + {(y_{E} - y_{F})}^{2}} = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(6 + 6)}^{2}} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160}$

Lunghezza del segmento EG: $\bar{EG} = \sqrt{{(x_{E} - x_{G})}^{2} + {(y_{E} - y_{G})}^{2}} = \sqrt{{(4 + 4)}^{2} + {(6 - 2)}^{2}} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$

Lunghezza del segmento GF: $\bar{GF} = \sqrt{{(x_{G} - x_{F})}^{2} + {(y_{G} - y_{F})}^{2}} = \sqrt{{(- 4 - 0)}^{2} + {(2 + 6)}^{2}} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$

$Area = \frac{\bar{EF} \cdot \bar{GH}}{2} = \frac{\sqrt{160}}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{10}} = 10 \sqrt{\frac{160}{10}} = 10 \cdot \sqrt{16} = 40$

$Perimetro = \bar{EF} + \bar{EG} + \bar{GF} = \sqrt{160} + \sqrt{80} + \sqrt{80} = 2 \cdot \sqrt{80} + \sqrt{160} = 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 20} + \sqrt{16 \cdot 10} = 4 \sqrt{20} + 4 \sqrt{10}$