N° 12 Rette e Punti

Dato il punto A(2,4) determina:

l'equazione della retta r passante per A e perpendicolare alla retta s: x+2y-5 = 0;
l'equazione della retta t passante per A e per il punto C che è appartenente ad s ed all'asse delle ascisse;
il punto di intersezione D delle rette r ed s;
l'area del triangolo ADC;
l'equazione della retta v passante per l'origine O e parallela alla retta t;
il punto di intersezione B della retta v e della retta s;
il perimetro e l'area del quadrilatero ABOC . Che tipo di quadrilatero è ? (R)

L'equazione della retta r passante per A e perpendicolare alla retta s: x+2y-5 = 0
Il coefficiente angolare della retta s è $m_{s} = - \frac{1}{2}$ .

Perchè perpendicolare ad s la retta r ha coefficiente angolare: $m_{r} = - \frac{1}{m_{s}} = - \frac{1}{- \frac{1}{2}} = 2$

La retta r passa per A(2,4).

La sua equazione è: $y - y_{A} = m_{s} \cdot (x - x_{A}) \to y - 4 = 2 \cdot (x - 2) \to y = 2 x + 4 - 4 \to r : y = 2 x$
L'equazione della retta t passante per A e per il punto C che è appartenente ad s ed all'asse delle ascisse.
Il punto C ha coordinate y_C= 0 (appartiene all'asse delle ascisse) e x_C= 5 (appartiene alla retta s). C(5,0)

Retta per due punti. $\frac{x - x_{A}}{x_{C} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{C} - y_{A}} \to \frac{x - 2}{5 - 2} = \frac{y - 4}{0 - 4} \to \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 4}{- 4} \to - 4 x + 8 = 3 y - 12 \to t : 4 x + 3 y - 20 = 0$
Il punto di intersezione D delle rette r ed s.
Occorre risovere il sistema: ${\begin{matrix} x + 2 y - 5 = 0 \\ y = 2 x \end{matrix} \to x + 4 x - 5 = 0 \to 5 x = 5 \to x = 1$

Da cui le coordinate del punto D: D(1,2)
L'area del triangolo ADC;
Le rette r ed s sono perpendicolari e si incontrano nel punto D. A appartiene alla retta r e C appartiene alla retta s.

Allora il triangolo ADC è rettangolo con l'angolo retto in D.

Da cui $Area = \frac{\bar{AD} \cdot \bar{CD}}{2}$ .

$\bar{AD} = \sqrt{{(x_{A} - x_{D})}^{2} + {(y_{A} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(4 - 2)}^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$\bar{CD} = \sqrt{{(x_{C} - x_{D})}^{2} + {(y_{C} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(0 - 2)}^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

$Area = \frac{\bar{AD} \cdot \bar{CD}}{2} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}}{2} = \frac{\sqrt{5 \cdot 20}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5$
L'equazione della retta v passante per l'origine O e parallela alla retta t;
Se v è parallela alla retta t ha lo stesso coefficiente angolare e se v passa per l'origine la sua intercetta è nulla.

Quindi deve essere: $v : y = - \frac{4}{3} x$
Il punto di intersezione B della retta v e della retta s.
Occorre risolvere il sistema: ${\begin{matrix} y = - \frac{4}{3} x \\ x + 2 y - 5 = 0 \end{matrix} \to x + 2 \cdot (- \frac{4}{3} x) - 5 = 0 \to x - \frac{8}{3} x = 5 \to \frac{3 - 8}{3} x = 5 \to x = - 3$

Il punto B ha coordinate: B(-3,4)
Il perimetro e l'area del quadrilatero ABOC . Che tipo di quadrilatero è ?
Calcolo delle lunghezze dei lati. I vertici sono A(2,4), B(-3,4), O(0,0), C(5,0).

Si vede subito che $\bar{AB} = ∣ x_{A} - x_{B} ∣ = ∣ 2 + 3 ∣ = 5$ . Anche $\bar{OC} = 5$

$\bar{BO} = \sqrt{x_{B}^{2} + y_{B}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 .$

Infine anche $\bar{AC} = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(4 - 0)}^{2}} = \sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25} = 5$

Il perimetro è quindi p= 20.

Il parallelogramma è un rombo. Infatti i suoi lati uguali appartengono a rette non perpendicolari.

L'area è $= \bar{OC} \cdot y_{A} = 5 \cdot 4 = 20$