N° 13 Rette e Punti

Dato il fascio di rette k·x + y + k = 0 determina:

la retta r del fascio parallela alla retta s che passa per i punti A(-2,-8) e B(6,8);
la distanza CD del punto C, appartenente alla retta r e all'asse delle ordinate, e la retta s;
il punto medio E del segmento CB;
l'equazione della mediana AE;
il baricentro G del triangolo ABC;
l'area del triangolo ABC;
il punto F di intersezione della retta r e della mediana AE (R)

La retta r del fascio parallela alla retta s che passa per i punti A(-2,-8) e B(6,8);
La retta s passa per i punti A e B:

$\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} \to \frac{x + 2}{6 + 2} = \frac{y + 8}{8 + 8} \to \frac{x + 2}{8} = \frac{y + 8}{16} \to 2 x + 4 = y + 8 \to 2 x - y - 4 = 0 \to s : y = 2 x - 4$

Il coefficiente angolare della retta r è : $m_{r} = m_{s} = 2$

Ricata l'equazione del fascio in forma esplicita: y= -k·x-k deve essere -k = 2 →k = - 2.

Da cui y= 2·x + 2 è l'equazione, in forma esplicita, della retta r.
La distanza CD del punto C, appartenente alla retta r e all'asse delle ordinate, e la retta s;
Le coordinate del punto C sono $x_{C} = 0$ (appartiene all'asse delle ordinate) e $y_{C} = 2$ (appartiene alla retta r).

La distanza $\bar{CD} = \frac{∣ a x_{C} + b y_{C} + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{∣ 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 4 ∣}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{∣ 0 - 2 - 4 ∣}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$
Il punto medio E del segmento CB;
$x_{E} = \frac{x_{C} + x_{B}}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3$ ; $y_{E} = \frac{y_{C} + y_{B}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$ . Il punto medio E(3,6)
L'equazione della mediana AE;
È l'equazione della retta passante per il punto medio E del segmento CB e per il punto A.

$\frac{x - x_{A}}{x_{E} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{E} - y_{A}} \to \frac{x + 2}{3 + 2} = \frac{y + 8}{5 + 8} \to \frac{x + 2}{5} = \frac{y + 8}{13} \to 13 x + 26 = 5 y + 40 \to 13 x - 5 y - 14 = 0$
Il baricentro G del triangolo ABC;
È il punto d'incontro delle mediane. Occorre trovare l'equazione di una seconda mediana.

Punto medio D del lato AB: $x_{D} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$ ; $y_{D} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{- 8 + 8}{2} = 0$ . Il punto medio D(2,0)

Equazione della mediana CD:

$\frac{x - x_{C}}{x_{D} - x_{C}} = \frac{y - y_{C}}{y_{D} - y_{C}} \to \frac{x - 0}{2 - 0} = \frac{y - 2}{0 - 2} \to \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 2} \to x = - y + 2 \to x + y - 2 = 0$

Occorre risolvere il sistema:

${\begin{matrix} 13 x - 5 y - 14 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{matrix} \to {\begin{matrix} 13 x - 5 y - 14 = 0 \\ y = - x + 2 \end{matrix} \to 13 x - 5 (- x + 2) - 14 = 0 \to 13 x + 5 x - 10 - 14 = 0 \to 18 x = 24 \to x = \frac{4}{3}$

Da cui $y_{G} = - x_{G} + 2 = - \frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$ . Il baricentro ha coordinate $G (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$
L'area del triangolo ABC;
L'altezza del triangolo relativa alla base AB è la distanza CD già calcolata: $\bar{CD}$ = $\frac{6}{\sqrt{5}}$

La base $\bar{AB} = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(- 2 - 6)}^{2} + {(- 8 - 8)}^{2}} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320}$

L'area del triangolo ABC : $Area = \frac{\bar{AB} \cdot \bar{CD}}{2} = \frac{\sqrt{320}}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = 3 \sqrt{\frac{320}{5}} = 3 \cdot \sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24$
Il punto F di intersezione della retta r e della mediana AE.
Occorre risolvere il sistema:

${\begin{matrix} 13 x - 5 y - 14 = 0 \\ y = 2 x + 2 \end{matrix} \to 13 x - 5 (2 x + 2) - 14 = 0 \to 13 x - 10 x - 10 - 14 = 0 \to 3 x = 24 \to x = \frac{24}{3} = 8$

Da cui F(8,18)