Dato il triangolo di vertici A(-1;3), B(2;0), C(3;3), determina:

a. il perimetro e l'area;

b. le coordinate dell'ortocentro.

• Lunghezze dei lati:

  $\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2}=\sqrt{{\left(2+1\right)}^2+{\left(0-3\right)}^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$

  $\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{{(x_C-x_B)}^2+{(y_C-y_B)}^2}=\sqrt{{\left(3-2\right)}^2+{\left(3-0\right)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

  $\overline{\mathrm{CA}}=\sqrt{{(x_C-x_A)}^2+{(y_C-y_A)}^2}=\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(3-3\right)}^2}=\sqrt{16}=4$

• Perimetro:

  $p=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}}=3\sqrt{2}+\sqrt{10}+4$

• Equazione della retta r_AB passante per A e B:

  $\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\to \frac{y-3}{0-3}=\frac{x+1}{2+1}\to \frac{y-3}{-3}=\frac{x+1}{3}\to -y+3=x+1\to x+y-2=0$

• Distanza h del punto C dalla retta r_AB:

  $h=\frac{\mid a{x}_C+b{y}_C+d\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\mid 1·3+1·3-2\mid }{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

• $\mathrm{Area}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}·h}{2}=\frac{3\sqrt{2}·2\sqrt{2}}{2}=6$
• Equazione della retta r_BC passante per B e C:

  $\frac{y-y_C}{y_B-y_C}=\frac{x-x_C}{x_B-x_C}\to \frac{y-3}{0-3}=\frac{x-3}{2-3}\to \frac{y-3}{-3}=\frac{x-3}{-1}\to y-3=3x-9\to 3x-y-6=0$

• Coefficiente angolare della retta r perpendicolare a r_AB:

  $m_r=-\frac{1}{m_{\mathrm{AB}}}=-\frac{1}{-1}=1$

• Equazione della retta r perpendicolare a $r_{\mathrm{AB}}$ e passante per il punto C:

  $y-3=x-3\to x-y=0$

• Coefficiente angolare della retta s pependicolare a r_BC:

  $m_s=-\frac{1}{m_{\mathrm{BC}}}=-\frac{1}{3}$

• Equazione della retta s perpendicolare a r_BC e passante per il punto A:

  $y-3=-\frac{1}{3}·\left(x+1\right)\to 3y-9=-x-1\to x+3y-8=0$

• Punto di intersezione delle due rette r ed s (coordinate dell'ortocentro):

  $\{\begin{array}{c}x-y=0\\ x+3y-8=0\end{array}\to x+3x-8=0\to 4x=8\to x=2$ ; $y=2$