I lati di un parallelogramma ABCD appartengono alle rette di equazione:

Determina l'area e il perimetro del parallelogramma.

• Le rette parallele sono le coppie : $\{\begin{array}{c}r:x-y=0\\ s:x-y-4=0\end{array}$ e $\{\begin{array}{c}t:x+y-2=0\\ v:x+y-6=0\end{array}$.
• Punto di intersezione fre le rette r e t:

  $\{\begin{array}{c}x-y=0\\ x+y-2=0\end{array}\to x+x-2=0\to 2x=2\to x=1$ e $y=1$ .

  Il punto è A(1,1)

• Punto di intersezione fre le rette r e v:

  $\{\begin{array}{c}x-y=0\\ x+y-6=0\end{array}\to x+x-6=0\to 2x=6\to x=3$ e $y=3$ .

  Il punto è B(3,3)

• Distanza AB (lunghezza di un lato del parallelogramma):

  $\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{{(x_A-x_B)}^2+{(y_A-y_B)}^2}=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$

• Punto di intersezione fre le rette s e t:

  $\{\begin{array}{c}x-y-4=0\\ x+y-2=0\end{array}\to x-y-4+x+y-2=0\to 2x=6\to x=3$ e $y=x-4=3-4=-1$ .

  Il punto è C(3,-1)

• Distanza AC (lunghezza del secondo lato del parallelogramma):

  $\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{{(x_A-x_C)}^2+{(y_A-y_C)}^2}=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(1+1\right)}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$

• Ora si può facilmente osservare che il parallelogramma è un quadrato ( le rette parallele sono perpendicolari alle altre due rette). Per cui:

  $\mathrm{Area}={\overline{\mathrm{AB}}}^2=8$ e $\mathrm{Perimetro}=4·\overline{\mathrm{AB}}=4·2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$