Rette e Punti N° 3

Dato il quadrilatero di vertici A(1;1), B(9;7), C(12;3), D(0;-6), verifica che è un trapezio e che il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente alla loro semisomma.

Retta r passante per A e B: $\frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} \to \frac{y - 1}{7 - 1} = \frac{x - 1}{9 - 1} \to \frac{y - 1}{6} = \frac{x - 1}{8} \to 4 y - 4 = 3 x - 3 \to y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{4}$
Retta s passante per B e C: $\frac{y - y_{B}}{y_{C} - y_{B}} = \frac{x - x_{B}}{x_{C} - x_{B}} \to \frac{y - 7}{3 - 7} = \frac{x - 9}{12 - 9} \to \frac{y - 7}{- 4} = \frac{x - 9}{3} \to 3 y - 21 = - 4 x + 36 \to y = - \frac{4}{3} x + 19$
Retta t passante per C e D: $\frac{y - y_{C}}{y_{D} - y_{C}} = \frac{x - x_{C}}{x_{D} - x_{C}} \to \frac{y - 3}{- 6 - 3} = \frac{x - 12}{0 - 12} \to \frac{y - 3}{- 9} = \frac{x - 12}{- 12} \to 4 y - 12 = 3 x - 36 \to y = \frac{3}{4} x + 6$
Retta v passante per D e A: $\frac{y - y_{D}}{y_{A} - y_{D}} = \frac{x - x_{D}}{x_{A} - x_{D}} \to \frac{y + 6}{1 + 6} = \frac{x - 0}{1 - 0} \to \frac{y + 6}{7} = \frac{x}{1} \to y + 6 = 7 x \to y = 7 x - 6$

Si può notare che la retta r e la retta t sono parallele da cui il quadrilatero è un trapezio. In più il trapezio è rettangolo perchè la retta s e la retta r sono perpendicolari.
Gli estremi dei lati obliqui sono appartenenti alle due rette non parallele. Quindi sono BC e DA. I punti medi dei lati obliqui sono :
$x_{M} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = \frac{9 + 12}{2} = \frac{21}{2}$ ; $y_{M} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5$

$x_{N} = \frac{x_{D} + x_{A}}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$ ; $y_{N} = \frac{y_{D} + y_{A}}{2} = \frac{- 6 + 1}{2} = - \frac{5}{2}$

La retta che passa per $M (\frac{21}{2}; 5)$ e $N (\frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$ :

$\frac{y - y_{M}}{y_{N} - y_{M}} = \frac{x - x_{M}}{x_{N} - x_{M}} \to \frac{y - 5}{- \frac{5}{2} - 5} = \frac{x - \frac{21}{2}}{\frac{1}{2} - \frac{21}{2}} \to \frac{y - 5}{- \frac{15}{2}} = \frac{\frac{2 x - 21}{2}}{- \frac{20}{2}} \to - 20 y + 100 = - 15 x + \frac{315}{2} \to y = \frac{3}{4} x - \frac{23}{8}$

ha il coefficiente angolare uguale a quello delle rette r e t.
La lunghezza del segmento MN:
$\bar{MN} = \sqrt{{(x_{M} - x_{N})}^{2} + {(y_{M} - y_{N})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{21}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {(5 + \frac{5}{2})}^{2}} = \sqrt{100 + \frac{225}{4}} = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{25}{2}$

La lunghezza della base AB:

$\bar{AB} = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(1 - 9)}^{2} + {(1 - 7)}^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

La lunghezza della base CD:

$\bar{CD} = \sqrt{{(x_{C} - x_{D})}^{2} + {(y_{C} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(12 - 0)}^{2} + {(3 + 6)}^{2}} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$

Si vede subito che : $\bar{MN} = \frac{\bar{AB} + \bar{CD}}{2} = \frac{10 + 15}{2} = \frac{25}{2}$