Rette e Punti N° 4

Verifica che il quadrilatero di vertici A(-3;0), B(-1;4), C(5;1), D(3;-3) è un parallelogramma. Determina le misure dei lati e il punto di incontro delle diagonali.

Retta r passante per A e B: $\frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} \to \frac{y - 0}{4 - 0} = \frac{x + 3}{- 1 + 3} \to \frac{y}{4} = \frac{x + 3}{2} \to 2 y = 4 x + 12 \to y = 2 x + 6$
Retta s passante per B e C: $\frac{y - y_{B}}{y_{C} - y_{B}} = \frac{x - x_{B}}{x_{C} - x_{B}} \to \frac{y - 4}{1 - 4} = \frac{x + 1}{5 + 1} \to \frac{y - 4}{- 3} = \frac{x + 1}{6} \to 2 y - 8 = - x - 1 \to y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$
Retta t passante per C e D: $\frac{y - y_{C}}{y_{D} - y_{C}} = \frac{x - x_{C}}{x_{D} - x_{C}} \to \frac{y - 1}{- 3 - 1} = \frac{x - 5}{3 - 5} \to \frac{y - 1}{- 4} = \frac{x - 5}{- 2} \to y - 1 = 2 x - 10 \to y = 2 x - 9$
Retta v passante per D e A: $\frac{y - y_{D}}{y_{A} - y_{D}} = \frac{x - x_{D}}{x_{A} - x_{D}} \to \frac{y + 3}{0 + 3} = \frac{x - 3}{- 3 - 3} \to \frac{y + 3}{3} = \frac{x - 3}{- 6} \to 2 y + 6 = - x + 3 \to y = - \frac{1}{2} x - 3$

Si può notare che la retta r e la retta t sono parallele e anche le rette s e v sono parallele, da cui il quadrilatero è un paralleleogramma. In più il quadrilatero è un rettangolo perchè le rette s ed r e la retta t e la retta v sono perpendicolari.
La lunghezza del segmento AB:
$\bar{AB} = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 + 3)}^{2} + {(4 - 0)}^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

La lunghezza del segmento BC:

$\bar{BC} = \sqrt{{(x_{B} - x_{C})}^{2} + {(y_{B} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 - 5)}^{2} + {(4 - 1)}^{2}} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$

I lati opposti sono uguali.
Retta h passante per A e C: $\frac{y - y_{A}}{y_{C} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{C} - x_{A}} \to \frac{y - 0}{1 - 0} = \frac{x + 3}{5 + 3} \to \frac{y}{1} = \frac{x + 3}{8} \to 8 y = x + 3 \to y = \frac{1}{8} x + \frac{3}{8}$
Retta k passante per B e D: $\frac{y - y_{B}}{y_{D} - y_{B}} = \frac{x - x_{B}}{x_{D} - x_{B}} \to \frac{y - 4}{- 3 - 4} = \frac{x + 1}{3 + 1} \to \frac{y - 4}{- 7} = \frac{x + 1}{4} \to 4 y - 16 = - 7 x - 7 \to y = - \frac{7}{4} x + \frac{9}{4}$
Intersezione delle due rette h e k : ${\begin{matrix} y = \frac{x}{8} + \frac{3}{8} \\ y = - \frac{7}{4} x + \frac{9}{4} \end{matrix} \to \frac{x}{8} + \frac{3}{8} = - \frac{7}{4} x + \frac{9}{4} \to \frac{x}{8} + \frac{7}{4} x = \frac{9}{4} - \frac{3}{8} \to \frac{15}{8} x = \frac{15}{8} \to$
$\to x = 1$ e $y = \frac{x}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$