Dato il triangolo ABC di vertici A(1;1), B(4;7), C(-5;4):

1. verifica che è un triangolo rettangolo;
2. determina le equazioni dei lati;
3. determina l'ortocentro;
4. determina il circocentro.

1. Retta r passante per A e B: $\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\to \frac{y-1}{7-1}=\frac{x-1}{4-1}\to \frac{y-1}{6}=\frac{x-1}{3}\to y-1=2x-2\to y=2x-1$
   
   
2. Retta s passante per B e C: $\frac{y-y_B}{y_C-y_B}=\frac{x-x_B}{x_C-x_B}\to \frac{y-7}{4-7}=\frac{x-4}{-5-4}\to \frac{y-7}{-3}=\frac{x-4}{-9}\to 3y-21=x-4\to y=\frac{1}{3}x+\frac{17}{3}$
   
   
3. Retta t passante per C e A: $\frac{y-y_C}{y_A-y_C}=\frac{x-x_C}{x_A-x_C}\to \frac{y-4}{1-4}=\frac{x+5}{1+5}\to \frac{y-4}{-3}=\frac{x+5}{6}\to 2y-8=-x-5\to y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

   Si vede che la retta r è perpendicolare alla retta t (m_AB·m_CA= -1), da cui il triangolo ABC è rettangolo.

4. Le equazioni dei lati sono le equazioni delle rette r, s e t.
   
   
5. L'ortocentro è l'incontro delle altezze che in un triangolo rettangolo corrisponde con il vertice dell'angolo retto, quindi A(1;1)
   
   
6. Il circocentro è l'incontro degli assi dei lati.
   1. Punti medi dei lati.
      • $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$ ; $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1+7}{2}=4$
      • $x_N=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{4-5}{2}=-\frac{1}{2}$; $y_N=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{7+4}{2}=\frac{11}{2}$
      • $x_K=\frac{x_C+x_A}{2}=\frac{-5+1}{2}=-2$; $y_K=\frac{y_C+y_A}{2}=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}$
   2. Gli assi dei segmenti AB, BC e CA:
      • $y-y_M=-\frac{1}{m_r}\left(x-x_M\right)\to y-4=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)\to y=-\frac{1}{2}x+4+\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}x+\frac{21}{4}$
      • $y-y_N=-\frac{1}{m_s}\left(x-x_N\right)\to y-\frac{11}{2}=-3\left(x+\frac{1}{2}\right)\to y=-3x+\frac{11}{2}-\frac{3}{2}=-3x+4$
      • $y-y_K=-\frac{1}{m_t}\left(x-x_K\right)\to y-\frac{5}{2}=2\left(x+2\right)\to y=2x+\frac{5}{2}+4=2x+\frac{13}{2}$
   3. Il punto di intersezione di due assi:

      $\{\begin{array}{c}y=-\frac{1}{2}x+\frac{21}{4}\\ y=-3x+4\end{array}\to -\frac{1}{2}x+\frac{21}{4}=-3x+4\to 3x-\frac{1}{2}x=4-\frac{21}{4}\to \frac{5}{2}x=-\frac{5}{4}\to x=-\frac{1}{2}$

      $y=-3x+4=-3(-\frac{1}{2})+4=\frac{3}{2}+4=\frac{11}{2}$