N° 6 Rette e Punti

Dati i punti A(-1,1) e B(3,3) determina:

l'equazione della retta r a cui appartengono A e B
il punto C di intersezione tra la retta r e la retta s: 3x + y - 5 = 0;
l'equazione della retta t passante per A e di coefficiente angolare m= -2/3;
il punto di intersezione D tra la retta t e la retta s;
la lunghezza del segmento AD;
la distanza tra il punto C e la retta t;
l'area del triangolo ACD (R: 7/2)

Equazione della retta r a cui appartengono A e B:
$\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} \to \frac{x + 1}{3 + 1} = \frac{y - 1}{3 - 1} \to \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 1}{2} \to x + 1 = 2 y - 2 \to x - 2 y - 3 = 0$
Il punto C di intersezione tra la retta r e la retta s: 3x + y - 5 = 0:
${\begin{matrix} 3 x + y - 5 = 0 \\ x - 2 y - 3 = 0 \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ - 3 x + 5 = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ \frac{x}{2} + 3 x = 5 - \frac{3}{2} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ \frac{7}{2} x = \frac{7}{2} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = 2 \\ x = 1 \end{matrix}$

Il punto C cercato è: C(1,2)
l'equazione della retta t passante per A e di coefficiente angolare m= -2/3:
$y - y_{A} = m \cdot (x - x_{A}) \to y - 1 = - \frac{2}{3} (x + 1) \to 3 y - 3 = - 2 x - 2 \to 2 x + 3 y - 1 = 0$
Il punto di intersezione D tra la retta t e la retta s:
${\begin{matrix} 3 x + y - 5 = 0 \\ 2 x + 3 y - 1 = 0 \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ y = - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ - 3 x + 5 = - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ - \frac{2}{3} x + 3 x = 5 - \frac{1}{3} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ \frac{7}{3} x = \frac{14}{3} \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 3 x + 5 \\ x = 2 \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

Il punto D cercato è: D(2,-1)
La lunghezza del segmento AD:
$\bar{AD} = \sqrt{{(x_{A} - x_{D})}^{2} + {(y_{A} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 - 2)}^{2} + {(1 + 1)}^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
La distanza tra il punto C e la retta t:
$\bar{CH} = \frac{∣ a \cdot x_{C} + b \cdot y_{C} + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{∣ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 1 ∣}{\sqrt{2^{2} + 3^{2}}} = \frac{∣ 2 + 6 - 1 ∣}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$
L'area del triangolo ACD:
Il punto A e il punto D appartengono alla stessa retta t. Quindi AD è la base e CH è l'altezza del triangolo ACD:

$Area = \frac{\bar{CH} \cdot \bar{AD}}{2} = \frac{7}{\sqrt{13}} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$