N° 7 Rette e Punti

Dato il fascio di rette definito dall'equazione : k·x + (2·k + 1)·y - 4 = 0. Determina:

per quale valore di k si ottiene la retta r parallela all'asse delle ascisse;
per quale valore di k si ottiene la retta s di coefficiente angolare -1/4;
il punto C di intersezione tra la retta r e la retta s (questo punto, dato dall'intersezione di tutte le rette del fascio, è detto punto-base)
l'equazione della retta t passante per il punto D(-4,6) e parallela alla retta s;
l'equazione della retta v passante per i punti C e D;
il punto medio E del segmento CB e il punto medio F del segmento DB con B il punto appartenente alla retta s e di ascissa nulla;
la lunghezza della mediana relativa al lato CB e della mediana relativa al lato DB del triangolo CDB. In quale punto M si incontrano queste mediane (baricentro) ?

Per quale valore di k si ottiene la retta r parallela all'asse delle ascisse:
Espresso il fascio di rette in forma esplicita, $y = - \frac{k}{2 k + 1} x + \frac{4}{2 k + 1}$ , basta porre il coefficiente angolare uguale a zero: m=- $\frac{k}{2 k + 1} = 0$ da cui k= 0.
Per quale valore di k si ottiene la retta s di coefficiente angolare -1/4:
Basta porre $- \frac{k}{2 k + 1} = - \frac{1}{4} \to 4 k = 2 k + 1 \to 2 k = 1 \to k = \frac{1}{2}$
Il punto C di intersezione tra la retta r e la retta s (questo punto, dato dall'intersezione di tutte le rette del fascio, è detto punto-base)
La retta r ha equazione $y = 4$ e la retta s ha equazione $y = - \frac{1}{4} x + \frac{4}{2 \cdot (\frac{1}{2}) + 1} = - \frac{1}{4} x + 2$
Da cui il sistema: ${\begin{matrix} y = 4 \\ y = - \frac{1}{4} x + 2 \end{matrix} \to 4 = - \frac{1}{4} x + 2 \to - \frac{1}{4} x = 2 \to x = - 8$

Il punto C è C(-8,4)
L'equazione della retta t passante per il punto D(-4,6) e parallela alla retta s:
Retta per un punto: $y - y_{D} = m \cdot (x - x_{D}) \to y - 6 = - \frac{1}{4} \cdot (x + 4) \to 4 y - 24 = - x - 4 \to x + 4 y - 20 = 0$
L'equazione della retta v passante per i punti C e D:
I punti C e D: C(-8,4) e D(-4,6): $\frac{x - x_{C}}{x_{D} - x_{C}} = \frac{y - y_{C}}{y_{D} - y_{C}} \to \frac{x + 8}{- 4 + 8} = \frac{y - 4}{6 - 4} \to \frac{x + 8}{4} = \frac{y - 4}{2} \to x + 8 = 2 y - 8 \to x - 2 y + 16 = 0$
il punto medio E del segmento CB e il punto medio F del segmento DB con B il punto appartenente alla retta s e di ascissa nulla:
Occorre determinare prima il punto B. Si vede subito che è B(0,2). Da cui:

$x_{E} = \frac{x_{C} + x_{B}}{2} = \frac{- 8 + 0}{2} = - 4$ e $y_{E} = \frac{y_{C} + y_{B}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$ . E(-4,3)

$x_{F} = \frac{x_{D} + x_{B}}{2} = \frac{- 4 + 0}{2} = - 2$ e $y_{F} = \frac{y_{D} + y_{B}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$ . F(-2,4)
La lunghezza della mediana relativa al lato CB e della mediana relativa al lato DB del triangolo CDB. In quale punto M si incontrano queste mediane (baricentro) ?
Prima mediana: $\bar{DE} = \sqrt{{(x_{D} - x_{E})}^{2} + {(y_{D} - y_{E})}^{2}} = \sqrt{{(- 4 + 4)}^{2} + {(6 - 3)}^{2}} = 3$

Seconda mediana: $\bar{CF} = \sqrt{{(x_{C} - x_{F})}^{2} + {(y_{C} - y_{F})}^{2}} = \sqrt{{(- 8 + 2)}^{2} + {(4 - 4)}^{2}} = 6$

È facile vedere che le equazioni delle rette a cui appartengono le mediane sono x= -4 per la mediana DE e y= 4 per la mediana CF. Le coordinate dela baricentro sono G(-4,4)