N° 8 Rette e Punti

Dati i quattro punti A(-2,3), B(2,4), C(7,1) e D(-1,-18) determina:

l'equazione della retta r passante per A e B;
l'equazione della retta s perpendicolare a r e passante per C;
il punto di intersezione E tra la retta s e la retta r;
l'equazione della retta t parallela a s e passante per B;
il punto F appartenente alla retta t di ascissa 7;
la distanza DF;
L'area del triangolo BDG con G punto appartenente alla retta t e di ordinata 52

L'equazione della retta r passante per A e B.
$\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} \to \frac{x + 2}{2 + 2} = \frac{y - 3}{4 - 3} \to x + 2 = 4 y - 12 \to r : x - 4 y + 14 = 0$
L'equazione della retta s perpendicolare a r e passante per C.
$m_{s} = - \frac{1}{m_{r}} = - 4$ . $y - y_{C} = m_{s} \cdot (x - x_{C}) \to y - 1 = - 4 \cdot (x - 7) \to y - 1 = - 4 x + 28 \to s : 4 x + y - 29 = 0$
Il punto di intersezione E tra la retta s e la retta r.
Occorre risolvere il sistema : ${\begin{matrix} 4 x + y - 29 = 0 \\ x - 4 y + 14 = 0 \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = - 4 x + 29 \\ y = \frac{1}{4} x + \frac{14}{4} \end{matrix} \to - 4 x + 29 = \frac{1}{4} x + \frac{14}{4} \to \frac{1}{4} x + 4 x = 29 - \frac{14}{4} \to \frac{17}{4} x = \frac{102}{4} \to x = \frac{102}{17} = 6$

da cui x_E= 6 e y_E= -4·x_E+29=-4·6+29=5.
L'equazione della retta t parallela a s e passante per B.
Il coefficiente angolare della retta t è : $m_{t} = m_{s} = - 4$ .

La retta t passa per il punto B: $y - y_{B} = m_{t} \cdot (x - x_{B}) \to y - 4 = - 4 \cdot (x - 2) \to y = 4 - 4 x + 8 \to y = - 4 x + 12$
Il punto F appartenente alla retta t di ascissa 7.
$y_{F} = - 4 \cdot x_{F} + 12 = - 4 \cdot 7 + 12 = - 28 + 12 = - 16$ . Il punto F: F(7,-16)
La distanza DF.
$\bar{DF} = \sqrt{{(x_{D} - x_{F})}^{2} + {(y_{D} - y_{F})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 - 7)}^{2} + {(- 18 + 16)}^{2}} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$
L'area del triangolo BDG con G punto appartenente alla retta t e di ordinata 52.
Il punto G appartiene alla retta t: $y_{G} = - 4 {\cdot x}_{G} + 12 \to 52 = - 4 \cdot x_{G} + 12 \to 4 \cdot x_{G} = 12 - 52 = - 40 \to x_{G} = - 10$ .

Dato che i punti G e B appartengono alla retta s allora la distanza DF è l'altezza relativa alla base BG del triangolo BDG.

La base BG: $\bar{BG} = \sqrt{{(x_{B} - x_{G})}^{2} + {(y_{B} - y_{G})}^{2}} = \sqrt{{(2 + 10)}^{2} + {(4 - 52)}^{2}} = \sqrt{144 + 2304} = \sqrt{2443}$

L'area del triangolo BDG: $Area = \frac{\bar{BG} \cdot \bar{DF}}{2} = \frac{\sqrt{2443} \cdot \sqrt{68}}{2} = \frac{\sqrt{166124}}{2}$