N° 9 Rette e Punti

Considera una retta passante per i punti A(-1, m) e B(m, 3). Inoltre sai che la retta ha coefficiente angolare uguale a m. Determina:

l'equazione delle due rette r ed s che soddisfano questa condizione;
il punto E in cui le due rette r ed s si incontrano;
I punti C e D di ordinata 6 che appartengono alle due rette r ed s;
I punti medi dei segmenti EC ed ED;
l'equazione degli assi dei segmenti EC ed ED;
il punto di intersezione H degli assi dei segmenti EC ed ED;
l'area del quadrilatero EBHD (R)

L'equazione delle due rette r ed s che soddisfano questa condizione;
Il coefficiente angolare delle due rette è dato da:

$m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{3 - m}{m + 1} \to m (m + 1) = 3 - m \to m^{2} + m + m - 3 = 0 \to m^{2} + 2 m - 3 = 0$

Il trinomio di secondo grado può essere sviluppato come prodotto dei due binomi: $(m - 1) \cdot (m + 3) = m^{2} + 2 m - 3$ .

Da cui m_r= 1 e m_s= -3.

La retta r passa per i punti A_r(-1,1) e B_r(1,3).

La sua equazione è : $y - y_{A} = m_{r} (x - x_{A}) \to y - 1 = x + 1 \to y = x + 2$

La retta s passa per i punti A_s(-1,-3) e B_s(-3,3).

La sua equazione è : $y - y_{A} = m_{s} (x - x_{A}) \to y + 3 = - 3 x - 3 \to y = - 3 x - 6$
Il punto E in cui le due rette r ed s si incontrano;
Occorre risolvere il sistema: ${\begin{matrix} y = x + 2 \\ y = - 3 x - 6 \end{matrix} \to x + 2 = - 3 x - 6 \to 3 x + x = - 6 - 2 \to 4 x = - 8 \to x = - 2$

Da cui y= 0 e il punto E: E(-2,0).
I punti C e D di ordinata 6 che appartengono alle due rette r ed s;
Il punto C: $y_{C} = x_{C} + 2 \to 6 = x_{C} + 2 \to x_{C} = 4 \to C (4,6)$

Il punto D: $y_{D} = {- 3 x}_{D} - 6 \to 6 = - 3 x_{D} - 6 \to 12 = - 3 x_{D} \to x_{D} = - 4 \to D (- 4,6)$
I punti medi dei segmenti EC ed ED;
B_r è il punto medio di EC: $x_{Br} = \frac{x_{E} + x_{C}}{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ ; $y_{Br} = \frac{y_{E} + y_{C}}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3$

B_s è il punto medio di ED: $x_{Bs} = \frac{x_{E} + x_{D}}{2} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ ; $y_{Bs} = \frac{y_{E} + y_{D}}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3$
L'equazione degli assi dei segmenti EC ed ED;
I punti C ed E appartengono alla retta r. L'asse della retta r ha coefficiente angolare $m_{Br} = - \frac{1}{m_{r}} = - \frac{1}{1} = - 1 .$

Da cui l'equazione dell'asse: $y - y_{Br} = m_{Br} \cdot (x - x_{Br}) \to y - 3 = - (x - 1) \to y - 3 = - x + 1 \to y = - x + 4$

I punti D ed E appartengono alla retta s. L'asse della retta s ha coefficiente angolare $m_{Bs} = - \frac{1}{m_{s}} = - \frac{1}{- 3} = \frac{1}{3}$

Da cui l'equazione dell'asse: $y - y_{Bs} = m_{Bs} \cdot (x - x_{Bs}) \to y - 3 = \frac{1}{3} (x + 3) \to y - 3 = \frac{1}{3} x + 1 \to y = \frac{1}{3} x + 4$
Il punto di intersezione H degli assi dei segmenti EC ed ED;
Occorre risolvere il sistema: ${\begin{matrix} y = - x + 4 \\ y = \frac{1}{3} x + 4 \end{matrix} \to - x + 4 = \frac{1}{3} x + 4 \to x - \frac{1}{3} x = 0 \to x = 0$

Il punto di intersezione H degli assi è: H(0,4)
L'area del quadrilatero EB_rHB_s .
Il quadrilatero è formato da due triangoli rettangoli .
- L'area del primo triangolo rettangolo EB_rH.
  $\bar{E B_{r}} = \sqrt{{(x_{E} - x_{Br})}^{2} + {(y_{E} - y_{Br})}^{2}} = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + {(0 - 3)}^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$
  
  $\bar{H B_{r}} = \sqrt{{(x_{H} - x_{Br})}^{2} + {(y_{H} - y_{Br})}^{2}} = \sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {(4 - 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
  
  ${Area}_{EBrH} = \frac{\bar{E B_{r}} \cdot \bar{H B_{r}}}{2} = \frac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
- L'area del secondo triangolo rettangolo EB_sH.
  $\bar{E B_{s}} = \sqrt{{(x_{E} - x_{Bs})}^{2} + {(y_{E} - y_{Bs})}^{2}} = \sqrt{{(- 2 + 3)}^{2} + {(0 - 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
  
  $\bar{H B_{s}} = \sqrt{{(x_{H} - x_{Bs})}^{2} + {(y_{H} - y_{Bs})}^{2}} = \sqrt{{(0 + 3)}^{2} + {(4 - 3)}^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
  
  ${Area}_{EBsH} = \frac{\bar{E B_{s}} \cdot \bar{H B_{s}}}{2} = \frac{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5$
L'area del quadrilatero è quindi Area = Area_EBrH + Area_EBsH = 3 + 5 = 8