PARABOLE

Calcola l'area della parte di piano delimitata dalla parabola di equazione $y = - \frac{1}{3} (x + 1) (x - 3)$ e dalla retta di equazione $y = \frac{1}{3} (x + 1)$
Scrivi l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione $y = 3 x^{2} - 4 x$ e perpendicolare alla retta di equazione $x - 3 y = 0$ , poi determina il punto di tangenza.
Determina per quale valore di k la parabola di equazione $y = x^{2} + 3 x + 2 k - 1$ risulta tangente alla retta passante per i punti A(-1;3) e B(1;-1).
Nel segmento parabolico, situato nel primo quadrante, determinato da una parabola avente asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate e dall’asse delle ascisse, è inscritto un rettangolo avente un lato sull’asse delle ascisse e il cui perimetro misura 18. Sapendo che uno dei vertici del rettangolo è il punto A(1;5) e che la parabola passa per il punto (-1; -7) determinare l’equazione della parabola.
Trovare l’equazione della parabola $x = a y^{2} + b$ che nel punto A(3;2) è tangente a una retta perpendicolare alla retta $x - y = 0$ . Determinare le coordinate del punto B in cui la normale in A alla parabola la incontra ulteriormente e trovare sull’arco AB della parabola un punto P in modo che l’area del triangolo PAB misuri 16.
Considerare la parabola di equazione $y = a x^{2} - 3 x + \frac{1}{a}$ . Trovare le tangenti alla curva condotte dall’origine e determinare le coordinate dei punti A e B di contatto. Calcolare il coefficiente angolare della retta t passante per A e B.
Tra le parabole $y = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + k$ individua per quale valore k la retta di equazione $2 y = x + 2$ stacca sulla parabola una corda AB di misura $5 \frac{\sqrt{5}}{2}$ . Condotte in A e B le tangenti alla parabola trovata e indicato con C il loro punto di intersezione calcola l'area del triangolo ABC.
Determina le equazioni delle parabole $y = a x^{2} + b x + c$ , aventi per vertice un punto di ordinata -9 e di ascissa la soluzione minore dell'equazione $t^{4} - 11 t^{3} + 25 t^{2} - 11 t + 24 = 0$ ,e che individuano sulla retta $x - y - 10 = 0$ un segmento AB di misura $3 \sqrt{2}$ . Calcola l'area del triangolo ABC, dove C è l'intersezione di ascissa positiva della parabola avente la concavità rivolta verso l'alto con l'asse x.
Considera il fascio di parabole di equazione $y = k x^{2} - x + 1 - 9 k$ . Studia le caratteristiche del fascio e determina i punti base. Determina l’equazione della retta r contenuta nel fascio. Determina la parabola del fascio passante per il punto di coordinate (2,4). Determina l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola p e dalla retta r.