Nel segmento parabolico, situato nel primo quadrante, determinato da una parabola avente asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate e dall’asse delle ascisse, è inscritto un rettangolo avente un lato sull’asse delle ascisse e il cui perimetro misura 18. Sapendo che uno dei vertici del rettangolo è il punto A(1;5) e che la parabola passa per il punto (-1; -7) determinare l’equazione della parabola.
La parabola ha la forma: y = a x 2 + bx + c

La parabola passa per il punto (-1;-7): − 7 = a − b + c

Il punto A appartiene alla parabola: 5 = a + b + c

Anche il secondo punto B appartiene alla parabola. Questo punto ha la stessa ordinata del punto A e ascissa xB.

L'ascissa può essere trovata noto il perimetro del rettangolo: p = 2 · ( x B − x A ) + 2 ∣ y A ∣ = 18

Da cui, risolvendo: x B − 1 + 5 = 9 ⇒ x B = 5 .

Noto il punto B(5;5) si ottiene una terza condizione sui coefficienti: 5 = 25 a + 5 b + c

{ a − b + c = − 7 a + b + c = 5 25 a + 5 b + c = 5

Sommando la prima alla seconda: 2 a + 2 c = − 7 + 5 ⇒ a + c = − 1

Sommando 5 volte la prima con la terza: 30 a + 6 c = − 35 + 5 ⇒ 5 a + c = − 5

Sottraendo la prima dalla seconda: 5 a − a = − 5 + 1 ⇒ 4 a = − 4 ⇒ a = − 1 e c = − 1 − a = 0

Infine b = a + c + 7 = − 1 + 7 = 6

L'equazione della parabola è γ : y = − x 2 + 6 x

1