N° 2 PARABOLE

Trovare l’equazione della parabola $x = a y^{2} + b$ che nel punto A(3;2) è tangente a una retta perpendicolare alla retta $x - y = 0$ . Determinare le coordinate del punto B in cui la normale in A alla parabola la incontra ulteriormente e trovare sull’arco AB della parabola un punto P in modo che l’area del triangolo PAB misuri 16.


Il fascio di rette perpendicolari alla retta $x - y = 0$ è $y = - x + q$ La retta del fascio passante per A(3;2) è : $r : x + y - 5 = 0$ La parabola è tangente alla retta r: $5 - y = a y^{2} + b \Rightarrow a y^{2} + y + b - 5 = 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow Δ = 1 - 4 a (b - 5) = 0$ Il punto A(3;2) appartiene alla parabola, quindi: $3 = 4 a + b$ Si ottiene il sistema: ${\begin{matrix} 4 a (b - 5) = 1 \\ 4 a + b = 3 \end{matrix}$ Dalla seconda $4 a = 3 - b$ . Sostituendo nella prima: $(3 - b) (b - 5) = 1 \Rightarrow b^{2} - 8 b + 16 = 0 \Rightarrow b = 4$ e $a = - \frac{1}{4}$ L'equazione della parabola è: $x = - \frac{1}{4} y^{2} + 4$

La normale alla parabola in A deve avere equazione : $n : y - y_{A} = x - x_{A} \Rightarrow y = x - 1$

Per trovare il punto B limponiamo uguali le ascisse della retta e della parabola:

$y + 1 = - \frac{1}{4} y^{2} + 4 \Rightarrow y^{2} + 4 y - 12 = 0 \Rightarrow y = - 2 \pm \sqrt{4 + 12} = {\begin{matrix} y_{A} = - 2 + 4 = 2 \\ y_{B} = - 2 - 4 = - 6 \end{matrix}$ e $x_{B} = - 5$

Poichè appartiene alla parabola il punto P ha coordinate : $P (- \frac{1}{4} y_{P}^{2} + 4; y_{P})$

L'altezza del triangolo PAB rispetto la base AB è data dalla distanza punto P dalla retta $n : x - y - 1 = 0$ :

$h = \frac{∣ - \frac{1}{4} y_{P}^{2} + 4 - y_{P} - 1 ∣}{\sqrt{2}} = \frac{∣ - y_{P}^{2} - 4 y_{P} + 12 ∣}{4 \sqrt{2}}$

La base AB è : $\bar{AB} = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(- 5 - 3)}^{2} + {(- 6 - 2)}^{2}} = \sqrt{64 + 64} =$ 8 $\sqrt{2}$

L'area è :

$Area = \frac{\bar{AB} \cdot h}{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{∣ - y_{P}^{2} - 4 y_{P} + 12 ∣}{4 \sqrt{2}} = ∣ - y_{P}^{2} - 4 y_{P} + 12 ∣ = 16$

Si devono considerare due casi: ${\begin{matrix} - y_{P}^{2} - 4 y_{P} + 12 = 16 - y_{P}^{2} - 4 y_{P} + 12 \geq 0 \\ y_{P}^{2} + 4 y_{P} - 12 = 16 - y_{P}^{2} - 4 y_{P} + 12 < 0 \end{matrix}$

L'equazione $y^{2} + 4 y - 12 = 0$ ha soluzioni : $y = - 2 \pm \sqrt{4 + 12} = - 2 \pm 4 = {\begin{matrix} - 6 \\ 2 \end{matrix}$

La prima disuguaglianza è valida per $- 6 \leq y_{P} \leq 2$ che sono proprio, all'interno dell'arco AB, il minimo e il massimo valore per y_P.

Quindi occorre risolvere l'equazione: $- y_{P}^{2} - 4 y_{P} + 12 = 16 \Rightarrow y_{P}^{2} + 4 y_{P} + 4 = 0 \Rightarrow {(y_{P} + 2)}^{2} = 0 \Rightarrow y_{P} = - 2$

e $x_{P} = - \frac{1}{4} y_{P}^{2} + 4 = - \frac{1}{4} \cdot 4 + 4 = 3$ . Il punto P richiesto è $P (3; - 2)$