N° 4 PARABOLE

Tra le parabole

y = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + k

individua per quale valore k la retta di equazione

2 y = x + 2

stacca sulla parabola una corda AB di misura

5 \frac{\sqrt{5}}{2}

. Condotte in A e B le tangenti alla parabola trovata e indicato con C il loro punto di intersezione calcola l'area del triangolo ABC.


Troviamo i punti di intersezione della parabola con la retta: ${\begin{matrix} y = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + k \\ x - 2 y + 2 = 0 \Rightarrow \end{matrix} \Rightarrow \frac{x}{2} + 1 = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + k \Rightarrow$ $\Rightarrow x^{2} - 7 x + 2 k - 2 = 0 \Rightarrow$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 k + 8}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{57 - 8 k}}{2}$ Queste sono le ascisse dei punti di intersezione. Le ordinate si ricavano dall'equazione della retta: $y = \frac{x}{2} + 1$ La lunghezza della corda è:

${\bar{AB}}^{2} = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} = {(\sqrt{57 - 8 k})}^{2} + {(\frac{1}{2} \sqrt{57 - 8 k})}^{2} = \frac{5}{4} (57 - 8 k) = \frac{125}{4} \Rightarrow 57 - 8 k = 25 \Rightarrow k = \frac{57 - 25}{8} = \frac{32}{8} = 4$

I punti A e B sono: ${\begin{matrix} x_{A} = \frac{7 + \sqrt{57 - 8 k}}{2} = \frac{7 + \sqrt{57 - 32}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6 \\ x_{B} = \frac{7 - 5}{2} = 1 \end{matrix}$ e ${\begin{matrix} y_{A} = \frac{x_{A}}{2} + 1 = 4 \\ y_{B} = \frac{x_{B}}{2} + 1 = \frac{3}{2} \end{matrix}$

Le tangenti si possono trovare con le formule di sdoppiamento:

${\begin{matrix} t_{A} : \frac{y_{A} + y}{2} = \frac{1}{2} x_{A} x - 3 \frac{x + x_{A}}{2} + 4 \\ t_{B} : \frac{y_{B} + y}{2} = \frac{1}{2} x_{B} x - 3 \frac{x + x_{B}}{2} + 4 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{\frac{3}{2} + y}{2} = \frac{x}{2} - 3 \cdot \frac{x + 1}{2} + 4 \\ \frac{4 + y}{2} = 3 x - 3 \cdot \frac{6 + x}{2} + 4 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{3}{2} + y - x + 3 x + 3 - 8 = 0 \\ 4 + y - 6 x + 18 + 3 x - 8 = 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 4 x + 2 y - 7 = 0 \\ 3 x - y - 14 = 0 \end{matrix}$

Il punto C di intersezione è:

$4 x + 2 (3 x - 14) - 7 = 0 \Rightarrow x_{C} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$ e $y_{C} = 3 x_{c} - 14 = 3 \cdot \frac{7}{2} - 14 = - \frac{7}{2}$

Per l'area del triangolo si può notare che la tangente t_A e la retta data sono perpendicolari quindi l'altezza del triangolo è data dalla lunghezza di AC:

$\bar{AC} = \sqrt{{(x_{C} - x_{A})}^{2} + {(y_{C} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{7}{2} - 1)}^{2} + {(- \frac{7}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{4} + 25} = \frac{5}{2} \sqrt{5}$

Il triangolo è quindi rettangolo isoscele:

$Area = \frac{\bar{AC} \cdot \bar{AB}}{2} = \frac{125}{8} ≃ 15.625$