Determina le equazioni delle parabole y = a x 2 + b x + c y= a x^2 + b x + c , aventi per vertice un punto di ordinata -9 e di ascissa la soluzione minore dell'equazione t 4 − 11 t 3 + 25 t 2 − 11 t + 24 = 0 t^4 - 11 t^3 + 25 t^2 - 11 t +24 = 0 ,e che individuano sulla retta x − y − 10 = 0 x - y -10 = 0 un segmento AB di misura 3 2 3 sqrt 2 . Calcola l'area del triangolo ABC, dove C è l'intersezione di ascissa positiva della parabola avente la concavità rivolta verso l'alto con l'asse x.


L'ordinata del vertice è yv= -9. Per trovare l'ascissa dobbiamo risolvere l'equazione di quarto grado: t 4 − 11 t 3 + 25 t 2 − 11 t + 24 = 0 t^4 - 11 t^3 + 25 t^2 - 11 t +24 = 0
e considerare la soluzione minore.
Secondo il teorema di Ruffini le soluzioni sono da individuare nei sottomultipli del termine noto che è 24.
Possiamo osservare che t= 3 è una soluzione dell'equazione: ( 3 ) 4 − 11 ( 3 ) 3 + 25 ( 3 ) 2 − 11 ( 3 ) + 24 = 81 − 297 + 225 − 33 + 24 = 330 − 330 = 0 (3)^4 - 11 (3)^3 + 25 (3)^2 - 11 (3) +24 = 81 - 297 + 225 - 33 + 24 = 330 - 330 = 0
Applicando la regola di Ruffini possiamo fattorizzare parzialmente l'equazione di quarto grado: t 4 − 11 t 3 + 25 t 2 − 11 t + 24 = ( t − 3 ) ⋅ ( t 3 − 8 t 2 + t − 8 ) = 0 t^4 - 11 t^3 + 25 t^2 - 11 t +24 = ( x-3 )cdot( t^3 - 8 t^2 + t - 8 ) =0
Per fattorizzare ulteriormente l'equazione possiamo usare la tecnica del raccoglimento parziale: t 4 − 11 t 3 + 25 t 2 − 11 t + 24 = ( t − 3 ) ⋅ ( t 3 − 8 t 2 + t − 8 ) = ( t − 3 ) ⋅ [ t ( t 2 + 1 ) − 8 ( t 2 + 1 ) ] = ( t − 3 ) ⋅ ( t 2 + 1 ) ⋅ ( t − 8 ) t^4 - 11 t^3 + 25 t^2 - 11 t +24 = ( t-3 )cdot( t^3 - 8 t^2 + t - 8 ) =( t-3 )cdot[ t(t^2+1) -8(t^2+1)]=( t-3 )cdot(t^2+1)cdot (t-8)
A questo punto possiamo osservare che la soluzione minore è t=3. Quindi il vertice ha coordinata V(3;-9).
Sostituiamo le coordinate dl vertice nelle formule che lo determinano in modo da ottenere due parametri in funzione del terzo:
{ − b 2 a = 3 − ( b 2 − 4 a c ) 4 a = − 9 → { b = − 6 a b 2 − 4 a c = 36 a → 36 a 2 − 4 a c = 36 a → 4 c = 36 a − 36 → c = 9 a − 9 left lbrace stack{ {-b }over { 2a } = 3# -{(b^2 - 4 a c) } over{4a}= -9} right none toward left lbrace stack{ b = - 6 a # b^2 - 4 a c = 36 a} right none toward 36 a^2 - 4 a c = 36 a toward 4c = 36 a - 36 toward c = 9 a - 9
La parabola in funzione del parametro a ha equazione:
y = a x 2 + b x + c = a x 2 − 6 a x + 9 a − 9 y= a x^2 + b x + c = a x^2 - 6 a x + 9 a - 9
La retta è incidente alle parabole. Quindi se formiamo il sistema tra la retta e le parabole possiamo trovare le coordinate dei punti di intersezione in funzione del parametro a: { y = a x 2 − 6 a x + 9 a − 9 y = x − 10 → x − 10 = a x 2 − 6 a x + 9 a − 9 → a x 2 − ( 6 a + 1 ) x + 9 a + 1 = 0 → x AB = 6 a + 1 ± ( 6 a + 1 ) 2 − 4 a ( 9 a + 1 ) 2 a = 6 a + 1 ± 8 a + 1 2 a left lbrace stack{y= a x^2 - 6 a x + 9 a - 9 # y= x - 10} right none toward x - 10 = a x^2 - 6 a x + 9 a - 9 toward a x^2 -( 6a+1 )x+9a+1=0 toward x_AB = {6a + 1 +- sqrt {(6a+1)^2-4a(9a+1)} } over {2a }= {6a + 1 +- sqrt {8a + 1} } over {2a }
La differenza delle ascisse dei punti A e B è uguale alla differenza delle radici:
( x B − x A ) = 8 a + 1 a (x_B - x_A) = {sqrt {8a + 1} } over {a }
e poichè appartengono ad una retta di coefficiente angolare uguale ad 1 la differenza delle ascisse è uguale alla differenza delle ordinate.
La misura del segmento AB + 3 2 3 sqrt 2 , da cui:
( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 = 3 2 → ( x B − x A ) 2 + ( x B − x A ) 2 = 3 2 → 4 ( x B − x A ) 2 = 18 → 4 ( 8 a + 1 ) 2 a 2 = 18 → 8 a + 1 = 9 a 2 → 9 a 2 − 8 a − 1 = 0 sqrt {(x_B - x_A)^2+ (y_B - y_A)^2} = 3 sqrt 2 toward sqrt {(x_B - x_A)^2+ (x_B - x_A)^2} = 3 sqrt 2 toward 4 (x_B - x_A)^2 = 18 toward {4{(8a + 1)^2} } over {a^2 } = 18 toward 8a + 1 = 9a^2 toward 9a^2 - 8a - 1 = 0
Risolviamo l'equazione di secondo grado nell'incognita a:
9 a 2 − 8 a − 1 = 0 → a 12 = 4 ± 16 + 9 9 = 4 ± 5 9 = { a 1 = 1 a 2 = − 1 9 9a^2 - 8a - 1 = 0 toward a_12= {4 +- sqrt{16+9} } over 9 = { 4 +- 5 } over 9 = left lbrace stack{a_1= 1 # a_2 = - {{1}over{9}} } right none
Possiamo così trovare le due parabole che soddisfano le condizioni date:
{ p 1 : y = x 2 − 6 x + 9 − 9 = x 2 − 6 x p 2 : y = − 1 9 x 2 + 2 3 x − 10 left lbrace stack{p_1 : y = x^2 -6 x +9-9 = x^2 - 6 x # p_2 : y= - {{1}over {9}}x^2 + {2 over 3}x -10 } right none
Le coordinate dei punti A e B della parabola p1 (a=1) sono: x AB = 6 a + 1 ± 8 a + 1 2 a = { x A = 6 a + 1 − 8 a + 1 2 a = 6 + 1 − 8 + 1 2 = 7 − 3 2 = 2 x B = 6 a + 1 + 8 a + 1 2 a = 6 + 1 + 8 + 1 2 = 7 + 3 2 = 5 y A = x A − 10 = 2 − 10 = − 8 y B = x B − 10 = 5 − 10 = − 5 x_AB = {6a + 1 +- sqrt {8a + 1} } over {2a } = left lbrace stack{x_A={6a + 1 - sqrt {8a + 1} } over {2a } = {6 + 1 - sqrt {8 + 1} } over {2 }= {7 - 3 } over {2 }= 2 # x_B={6a + 1 + sqrt {8a + 1} } over {2a } = {6 + 1 + sqrt {8 + 1} } over {2 }= {7 + 3 } over {2 }= 5 } right none newline newline y_A= x_A- 10 = 2-10 = -8 ~~ y_B= x_B- 10 = 5-10 = -5
Chiamiamo questi punti A1(2;-8) e B1(5;-5)
Facciamo lo stesso per i punti A e B della parabola p2 (a=-1/9):
x AB = 6 a + 1 ± 8 a + 1 2 a = { x A = 6 a + 1 + 8 a + 1 2 a = − 2 / 3 + 1 − − 8 / 9 + 1 − 2 / 9 = 1 / 3 − 1 / 9 − 2 / 9 = 1 / 3 − 1 / 3 − 2 / 9 = 0 x B = 6 a + 1 + 8 a + 1 2 a = − 2 / 3 + 1 + − 8 / 9 + 1 − 2 / 9 = 1 / 3 + 1 / 9 − 2 / 9 = 1 / 3 + 1 / 3 − 2 / 9 = 2 / 3 − 2 / 9 = − 3 y A = x A − 10 = 0 − 10 = − 10 y B = x B − 10 = − 3 − 10 = − 13 x_AB = {6a + 1 +- sqrt {8a + 1} } over {2a } = left lbrace stack{x_A={6a + 1 + sqrt {8a + 1} } over {2a } = {-2/3 + 1 - sqrt {-8/9 + 1} } over {-2/9 }= {1/3 - sqrt {1/9} } over {-2/9 }= {1/3 - 1/3 } over {-2/9 } = 0 # x_B={6a + 1 + sqrt {8a + 1} } over {2a } = {-2/3 + 1 + sqrt {-8/9 + 1} } over {-2/9 }= {1/3 + sqrt {1/9} } over {-2/9 }= {1/3 + 1/3 } over {-2/9 } = {2/3 } over {-2/9 }= -3 } right none newline newline y_A= x_A- 10 = 0-10 = -10 ~~ y_B= x_B- 10 = -3-10 = -13
Chiamiamo questi punti A2(0;-10) e B2(-3;-13)
L'intersezione con ascissa positiva dell'asse x con la parabola avente concavità verso l'alto è xC = 6. Quindi il punto C ha coordinate: C(6;0).
L'area del triangolo aventi vertici nei punti A1(2;-8), B1(5;-5) e C(6;0) è :
Area = 1 2 | x A 1 y A 1 1 x B 1 y B 1 1 x C y C 1 | = 1 2 | 2 − 8 1 5 − 5 1 6 0 1 | = 1 2 ⋅ [ 6 ( − 8 + 5 ) + ( − 10 + 40 ) ] = 1 2 ⋅ [ − 18 + 30 ] = 6 Area = { 1 over 2 } abs{ matrix{x_A1 # y_A1 # 1 ## x_B1 # y_B1 # 1 ## x_C # y_C # 1} }= { 1 over 2 } abs{ matrix{2 # -8 # 1 ## 5 # -5 # 1 ## 6 # 0 # 1} } = { 1 over 2 } cdot[ 6(-8+5) +(-10+40) ]= { 1 over 2 } cdot[ -18 + 30]= 6