Considera il fascio di parabole di equazione y = k x 2 − x + 1 − 9 k y= k x^2 - x + 1 - 9k .
a. Studia le caratteristiche del fascio e determina i punti base.
b. Determina l’equazione della retta r contenuta nel fascio.
c. Determina la parabola del fascio passante per il punto di coordinate (2,4).
d. Determina l’area del segmento parabolico limitato dalla parabola p e dalla retta r.


Separiamo le parabole generatrici: y = k x 2 − x + 1 − 9 k → ( y + x − 1 ) + k ( − x 2 + 9 ) = 0 → { y + x − 1 = 0 − x 2 + 9 = 0 y= k x^2 - x + 1 - 9k toward ( y+x-1 )+k( -x^2+9 )=0 toward left lbrace stack{y+x-1=0 # -x^2+9=0} right none
Il fascio è generato da due parabole degeneri ed è un fascio di parabole che si inersecano in due punti base di ascissa xA= -3 e xB= +3.
Troviamo le ordinate dei punti base: { y A = − x A + 1 = 3 + 1 = 4 y B = − x B + 1 = − 3 + 1 = − 2 left lbrace stack{y_A = - x_A+1=3+1=4 # y_B = - x_B+1=-3+1=-2} right none
Le coordinate dei punti base sono A(-3,4) e B(3,-2). L'equazione della retta r contenuta nel fascio è y = -x + 1
Determiniamo la parabola del fascio passante per il punto di coordinate (2,4).
Prima sostituendo le coordinate del punto nell'equazione del fascio troviamo il parametro k: y = k x 2 − x + 1 − 9 k → 4 = k 2 2 − 2 + 1 − 9 k → − 5 k = 5 → k = − 1 y= k x^2 - x + 1 - 9k toward 4= k 2^2 - 2 + 1 - 9k toward -5k = 5 toward k= -1 Poi sostituiamo il parametro k trovato nell'equazione del fascio: y = k x 2 − x + 1 − 9 k = − x 2 − x + 1 + 9 = − x 2 − x + 10 y= k x^2 - x + 1 - 9k = - x^2 - x + 1 +9= - x^2 - x + 10
Per calcolare l'area del segmento parabolico dobbiamo trovare la retta s tangente alla parabola parallela alla retta r.
Formiamo il sistema tra parabola p e una retta di coefficiente angolare m= -1, lo risolviamo imponendo il discriminante uguale a zero e troviamo l'intercetta della retta s: { y = − x 2 − x + 10 y = − x + q → − x + q = − x 2 − x + 10 → x 2 − 10 + q = 0 left lbrace stack{y = - x^2 - x + 10 # y= -x + q} right none toward -x + q= - x^2 - x + 10 toward x^2 -10 + q=0
Per avere una sola soluzione (x=0) è necessario che q= 10.
Trovata la retta s tangente alla parabola e parallela alla retta r calcoliamo la distanza fra le due rette: d = | q s − q r | 1 + m 2 = | 10 − 1 | 1 + 1 = 9 2 d = {abs{q_s-q_r} }over { sqrt{1 + m^2} }= {abs{10 - 1} }over { sqrt{1 +1} }= 9 over sqrt 2
Ora calcoliamo la distanza fra i punti base:
h = ( x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2 = ( − 3 − 3 ) 2 + ( 4 + 2 ) 2 = 36 + 36 = 6 2 h = sqrt { (x_A - x_B)^2 +(y_A - y_B)^2 }= sqrt { (-3 - 3)^2 +(4 +2)^2 }= sqrt { 36 +36 }= 6 sqrt 2
L'aera del segmento parabolico limitato dalla parabola p e dalla retta r è data dalla formula di Archimede:
Area = 2 3 d ⋅ h = 2 3 ⋅ 9 2 ⋅ 6 2 = 36 Area = { 2 over 3 } d cdot h = { 2 over 3 }cdot {9 over sqrt 2}cdot 6 sqrt 2 = 36