Calcola l'area della parte di piano delimitata dalla parabola di equazione $y=-\frac{1}{3}(x+1)(x-3)$ e dalla retta di equazione $y=\frac{1}{3}(x+1)$


Troviamo i punti di intersezione dei due luoghi geometrici:

$$\{\begin{array}{c}y=-\frac{1}{3}(x+1)(x-3)\\ y=\frac{1}{3}(x+1)\end{array}\to -\frac{1}{3}(x+1)(x-3)=\frac{1}{3}(x+1)\to \frac{1}{3}(x+1)+\frac{1}{3}(x+1)(x-3)=0\to \frac{1}{3}(x+1)(1+x-3)=0\to (x+1)(x-2)=0$$
Retta e parabola si intersecano in x= -1 e in x=2.
Adesso scriviamo la retta tangente alla parabola e di coefficiente angolare 1/3 (parallela alla retta) e intercetta q (non nota).
Componiamo il sistema parabola-retta, imponiamo uguali le ordinate e infine imponiamo il discriminante che ne deriva uguale a zero (condizione di tangenza).

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}y=-\frac{1}{3}(x+1)(x-3)\\ y=\frac{1}{3}x+q\end{array}\to -\frac{1}{3}(x+1)(x-3)=\frac{1}{3}x+q\to \frac{1}{3}x+q+\frac{1}{3}{x}^2-x+\frac{1}{3}x-1=0\to x^2-x+3(q-1)=0\\ \\ \mathrm{\Delta }=1-12(q-1)=0\to 12q-12=1\to q=\frac{13}{12}\end{array}$$
Per calcolare la distanza tra due rette parallele possiamo usare la formula:
$$d=\frac{\left|q_1-q_2\right|}{\sqrt{1+m^2}}$$
In questo caso q₁= 1/3, q₂= 13/12 e m= 1/3:
$$d=\frac{\left|q_1-q_2\right|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{\left|\frac{1}{3}-\frac{13}{12}\right|}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{\frac{9}{12}}{\frac{\sqrt{10}}{3}}=\frac{9}{4\sqrt{10}}$$
Per poter applicare il teorema di Archimede ci manca solo la distanza tra i due punti di intersezione:
$$b=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}=\sqrt{{(2+1)}^2+{(1-0)}^2}=\sqrt{10}$$
Non ci rimane che applicare il teorema di Archimede per trovare l'area della parte di piano delimitata dalla parabola e dalla retta:
$$\mathit{Area}=\frac{2}{3}d\cdot b=\frac{2}{3}\frac{9}{4\sqrt{10}}\cdot \sqrt{10}=\frac{3}{2}$$