Scrivi l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = 3 x 2 − 4 x y= 3 x^2 - 4 x e perpendicolare alla retta di equazione x − 3 y = 0 x - 3y =0 , poi determina il punto di tangenza.




La retta ha coefficiente angolare uguale a 1/3 e quindi la retta tangente (condizione di perpendicolarità tra due rette) deve avere coefficiente angolare m=-3.
Componiamo il sistema retta-parabola con non nota l'intercetta q e poi imponiamo il discriminante che ne deriva uguale a zero (condizione di tangenza):
{ y = 3 x 2 − 4 x y = − 3 x + q → 3 x 2 − 4 x = − 3 x + q → 3 x 2 − x − q = 0 Δ = 1 + 4 ⋅ 3 ⋅ q = 0 → q = − 1 12 left lbrace stack{y= 3x^2-4x # y = -3x + q} right none toward 3x^2-4x= -3x + q toward 3x^2-x-q=0 newline newline %DELTA= 1 + 4 cdot 3 cdot q =0 toward q= -{ 1 over 12 }
L'equazione della retta tangente è:
y = − 3 x − 1 12 y= -3 x - { 1 over 12 }
L'ascissa del punto di tangenza è la soluzione dell'equazione di secondo grado trovata prima (il discriminante è uguale a zero):
x = − b 2 a = − − 1 6 = 1 6 x= -{ b over {2 a} }= - { -1 over {6} }= 1 over 6
L'ordinata è:
y = − 3 ⋅ 1 6 − 1 12 = − 6 12 − 1 12 = − 7 12 y = - 3 cdot { 1 over 6 } - { 1 over 12 } = -{6 over 12} - 1 over 12= - { 7 over 12 }