Determina per quale valore di k la parabola di equazione y = x 2 + 3 x + 2 k − 1 y= x^2 + 3x + 2k - 1 risulta tangente alla retta passante per i punti A(-1;3) e B(1;-1).




Troviamo l'equazione della retta per due punti :
y − y A y B − y A = x − x A x B − x A → y − 3 − 1 − 3 = x + 1 1 + 1 → 2 y − 6 = − 4 x − 4 → y = − 2 x + 1 { y-y_A } over { y_B -y_A } = { x-x_A } over { x_B -x_A } toward { y-3 } over { -1 -3 } = { x+1 } over { 1 +1 } toward 2y - 6 = -4x -4 toward y = -2 x +1
Poi formiamo il sistema parabola-retta e deduciamo da esso una equazione di secondo grado (con k parametro non noto).
Imnponiamo il discriminante nullo (condizione di tangenza) e da questa condizione ricaviamo il parametro k:
{ y = x 2 + 3 x + 2 k − 1 y = − 2 x + 1 → x 2 + 3 x + 2 k − 1 = − 2 x + 1 → x 2 + 3 x + 2 k − 1 + 2 x − 1 = 0 → x 2 + 5 x + 2 ( k − 1 ) = 0 Δ = 25 − 8 ( k − 1 ) = 0 → 25 − 8 k + 8 = 0 → 8 k = 33 → k = 33 8 left lbrace stack{y= x^2 +3x +2k - 1 # y= -2x + 1 } right none toward x^2 +3x +2k - 1= -2x + 1 toward x^2 +3x +2k - 1+2x-1=0 toward x^2 + 5x +2( k-1 ) =0 newline newline %DELTA = 25 -8( k-1 )=0 toward 25 - 8 k +8 =0 toward 8 k = 33 toward k = 33 over 8