PROBLEMI SULLE CONICHE IN GENERALE

1. Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC e contiene il centro della circonferenza k circoscritta a esso. Condotta la retta t tangente a k in C, indicare con D la proiezione ortogonale di A su t e con E quella di A su BC.
   1. Dimostrare che i triangoli ACD e ACE sono congruenti.
   2. Ammesso che le misure del raggio della circonferenza k e del segmento AE, rispetto a un’assegnata unità 5 e 2, riferire il piano della figura a un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy), in di misura, siano 4 modo però che l’asse x sia parallelo alla retta BC.
      Trovare:
      1. le coordinate dei punti B, C, D;
      2. l’equazione della circonferenza k;
      3. l’equazione della parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti B, C, D.
   3. Stabilire analiticamente se la circonferenza k e la parabola p hanno altri punti in comune oltre ai punti B e C.

(Esame di Stato, Liceo scientifico, Scuole italiane all’estero (Americhe, Emisfero boreale), Sessione ordinaria, 2005, problema 1)

2. Una parabola passante per A e B divide il triangolo ABC in due parti equivalenti. Supposto ABC equilatero di lato 3 cm e l’asse della parabola perpendicolare al segmento AB, in un conveniente sistema di riferimento si determinino:
   1. le coordinate di A, B e C;
   2. l’equazione della parabola;
   3. l’equazione della circonferenza inscritta nel triangolo ABC

(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione suppletiva, 2000, quesito 1)

3. L’ellisse di equazione $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$ interseca l’asse delle x nei punti A e B e l’ascissa di A è negativa. Detti rispettivamente P e Q i punti del primo e del quarto quadrante ottenuti intersecando l’ellisse con la parallela all’asse y passante per il fuoco F1 di ascissa positiva, verificare che l’origine degli assi è il baricentro del triangolo PAQ. Determinare poi:
   1. la misura del perimetro del triangolo;
   2. l'equazione della retta contenente la mediana uscente da Q;
   3. l'equazione della parabola passante per P, Q, M, essendo M il punto medio di AP

4. Considera l'iperbole γ di equazione $y=\frac{\mathrm{ax}-6}{x+b}$,
   • Determina a e b in modo che abbia come asintoti le rette di equazione x= -3 e y= -2;
   • determina l'equazione della tangente all'iperbole nei suoi punti di intersezione con l'asse delle ascisse;
   • determina l'equazione dell'iperbole γ' simmetrica a γ rispetto al suo asintoto orizzontale;
   • determina l'equazione dell'iperbole γ" simmetrica a γ' rispetto all'asse delle ordinate;
   • determina l'equazione della parabola passante per i punti di intersezione di γ e γ" con gli assi.

5. L’iperbole di equazione $x^2-y^2=k$ è tangente nel punto A alla retta t di equazione $3x-2y-5=0$; scrivere l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo al’asse y, che passa per l’origine O del sistema di riferimento e che nel punto A è tangente alla retta n, normale in A all’iperbole. Considerato un punto P sull’arco OA di parabola, siano H e M, rispettivamente, le proiezioni di P su t e su n; determinare la posizione di P in modo che il perimetro del rettangolo PHAM misuri $\frac{15}{\sqrt{13}}$

6. Considerare l’iperbole di equazione $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$. La perpendicolare a uno degli asintoti, uscente dal fuoco di ascissa positiva, interseca il semiasse positivo delle y in un punto P. Trovare la misura del perimetro del triangolo avente per vertici i fuochi dell’iperbole e il punto P. Trovare inoltre l’equazione della circonferenza tangente agli asintoti, avente per centro il punto P.

7. In un sistema di assi cartesiani ortogonali determinare l’equazione dell’ellisse passante per l’origine degli assi, avente per fuochi i punti F₁(1;1) e F₂(1;-1). Determinare l’equazione dell’iperbole che ha un vertice nel punto V(1;0) e un fuoco nel punto F(2;0). Determinare gli asintoti dell’iperbole e la misura S₁ dell’area del triangolo formato dagli asintoti dell’iperbole e dall’asse di simmetria dell’ellisse parallelo all’asse delle ordinate. Determinare infine la misura S₂ dell’area del triangolo formato dalle intersezioni dell’ellisse e dell’iperbole e dall’origine degli assi.

8. Data l’ellisse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$, determinare le coordinate dei suoi punti di intersezione con la retta 2y=x. Scrivere poi l’equazione dell’iperbole canonica passante per i punti precedentemente trovati e avente un fuoco nel punto (0;3). Calcolarne i vertici e gli asintoti. Calcolare infine l’equazione della circonferenza passante per i punti di intersezione dell’iperbole e dell’ellisse.

9. Un triangolo ABC è tale che AB=8, BC=4 e AC= 6. Ridefinisci il triangolo ad un conveniente sistema di riferimento cartesiano orogonale e scrivi le equazioni dell'ellisse e dell'iperbole che hanno fuochi in A e B e passano per C essendo C punto di intersezione dell'ellisse e dell'iperbole. Determina infine le equazioni dele due circonferenze aventi centro nell'asse delle ascisse passanti per i vertici dello stesso segno delle due coniche e l'area di piano compresa fra l'ellisse e le due circonferenze

10. Scrivere le equazioni di due parabole con gli assi perpendicolari tra loro e aventi, la prima, per direttrice la retta di equazione y= -15/4 e per fuoco F(0; -9/4), e la seconda, passante per il vertice della prima ed avente il suo vertice nel punto, di ascissa negativa, intersezione della prima parabola con l’asse delle ascisse. Determinare infine l’equazione della circonferenza passante per i punti di intersezione delle due parabole.