Disegna due circonferenze concentriche, di raggio uno doppio dell’altro. Sulla circonferenza di raggio maggiore scegli un punto A e da esso conduci i segmenti di tangente, AB e AC, alla circonferenza minore. Traccia la corda BC. Dimostra che il triangolo ABC è equilatero.


Per il teorema delle tangenti da un punto esterno ad una circonferenza il triangolo ABC è isoscele. Inoltre i triangoli OCA e OBC sono rettangoli perchè C e B sono punti di tangenza e le tangenti sono perpendicolari ai raggi. Per costruzione il punto D è punto medio del segmento OA. Allora i segmenti DC e DB, mediane dell'ipotenusa OA, devono essere congruenti a OD e DA che a loro volta sono congruenti al raggio della circonferenza di raggio minore. Si deduce che i triangoli CDA, BDA e CDB sono isosceli. In più i triangoli CDA e BDA sono anche congruenti perchè, come affermato prima, il triangolo ABC è isoscele.
Dalla congruenza dei segmenti DC, DA, DB e DO deriva che i punti B, O, C ed A appartengono tutti ad una stessa circonferenza di cui D è il centro. Ne consegue che l'angolo CDA, angolo al centro che insiste sull'arco CA, è doppio dell'angolo COA, angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. Ma il triangolo COD è equilatero da cui l'angolo CDA è anche doppio dell'angolo ODC che a sua volta è la metà dell'angolo BDC dato che OD è anche bisettrice del triangolo CDB. Ne consegue che, avendo anche l'angolo al vertice congruente, il triangolo isoscele CDB è congruente ai triangoli isosceli CDA e BDA. In particolare la base BC è congruente alle basi CA e BA dimostrando così che il triangolo ABC è equiilatero.