In una circonferenza di centro O traccia una corda AB e la semiretta t tangente in B nel semipiano che contiene il centro.

Considera su t un punto C tale che CB ≅ AB e indica con P il punto di intersezione della retta AC con la circonferenza.

Dimostra che: a) PB ≅ PC; b) B P ̂ C ≅ 2 · O B ̂ P .


Gli angoli B A ̂ C ≅ B C ̂ A = β per ipotesi.

L'angolo P A ̂ B è supplementare a β: P A ̂ B ≅ π − β

L'angolo P O ̂ B è esplementare all'angolo al centro, doppio di P A ̂ B ,:

P O ̂ B ≅ 2 π − 2 · P A ̂ B = 2 π − 2 · ( π − β ) = 2 β

Osservando il triangolo ABC: A B ̂ C ≅ π − 2 β

Osservando il triangolo POB (isoscele): P B ̂ O ≅ π − 2 β 2 = π 2 − β

Per ipotesi (retta tangente alla circonferenza:

P B ̂ O + P B ̂ A + A B ̂ C ≅ π 2 → P B ̂ A ≅ π 2 − P B ̂ O − A B ̂ C = π 2 − ( π 2 − β ) − ( π − 2 β )

Da cui P B ̂ A = 3 β − π

L'angolo P B ̂ C è allora: P B ̂ C ≅ P B ̂ A + A B ̂ C = 3 β − π + π − 2 β = β

Quindi il triangolo PBC è isoscele e PB ≅PC

Si ricava facilmente che l'angolo P B ̂ O ≅ π 2 − β ≅ π 2 − π − B P ̂ C 2 = B P ̂ C 2