N° 33 Poligoni e Circonferenze

Disegna una circonferenza inscritta in un triangolo equilatero ABC, con punti di tangenza M, N, L.

Dimostra che: a) il triangolo MNL è equilatero; b) il lato del triangolo inscritto è la metà di quello circoscritto.

Un triangolo equilatero ha tutti gli angoli interni congruenti (↑) e pari a $\frac{π}{3}$ ( ↑).

In un triangolo equilatero i punti di tangenza della circonferenza inscritta sono i punti medi dei lati perchè incentro e circocentro coincidono (↑).

Quindi i triangoli ALM, MNC e LBN avendo due lati uguali e l'angolo al vertice pari a $\frac{π}{3}$ sono equilateri (↑) .

Se i triangoli ALM, MNC e LBN sono equilateri sarà anche equilatero anche il triangolo MNL.

Inoltre MNL è congruente a ALM, MNC e LBN (↑) ed è evidente che il suo lato sarà la metà del lato del triangolo circoscritto ABC