Considera l'incentro S di un triangolo qualunque ABC e traccia per S la parallela al lato BC che incontra in P e in Q rispettivamente i lati AB e AC. Dimostra che il perimetro del triangolo APQ è congruente alla somma di AB e AC.

Gli angoli QCS e BCS sono congruenti perchè S è l'incentro del triangolo ABC , anche BCS e QSC sono congruenti perchè angoli alterni interni delle rette PQ e BC tagliate dalla trasversale SC . Ne consegue che, poichè gli angoli alla base QSC e QCS del triangolo QSC sono congruenti, il triangolo QSC è isoscele . Gli stessi ragionamenti possono essere fatti per il triangolo PBS. Ora PS e SQ sono due segmenti adiacenti e QP = PS + SQ. Ma per quanto dimostrato prima deriva che anche QP = QC + PB. Sommiamo i lati del triangolo APQ: AP + QP + AQ. Sostituiamo QP: AP + AC + PB + AQ. Ma AP e PB sono segmenti adiacenti la cui somma è congruente a AB e anche AQ e QC sono segmenti adiacenti la cui somma è congruente a AC. In conclusione la somma dei tre lati del triangolo APQ deve essere congruente alla somma dei lati AB e AC