Per i punti di intersezione Q,
R e S degli assi deve passare una circonferenza
e questi punti
sono vertici di un triangolo QRS. Poichè i lati del
triangolo QRS hanno la stessa distanza dal centro per
costruzione (OE, OD e OF) allora le corde QR, RS e SQ sono i
lati di un triangolo equilatero QRS
.
E poichè le distanze dal centro OP e OD sono congruenti, anche
perchè raggi della circonferenza inscritta nel triangolo ABC
,
allora anche i due triangoli equilateri QRS e ABC
sono congruenti
e con lo stesso centro O.
La circonferenza circoscritta al triangolo QRS è la
stessa circonferenza circoscritta al triangolo ABC.
Poichè QP è perpendicolare a GH e QP ed è anche bisettrice dell'angolo GQH allora il triangolo GQH è isoscele anzi equilatero
perchè QP è anche bisettrice dell'angolo SQR . Ne deriva che i sei triangoli NAG, GQH, HCK,
KRL, LBM, MSN sono tutti equilateri e congruenti e ciò
dimostra che l'esagono GHKLMN è regolare
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