DIMOSTRAZIONI SUI TRIANGOLI



  1. Sono dati un segmento AB e una qualunque retta passante per il punto medio M del segmento. Su tale retta scegli due segmenti congruenti, ME e MF, da parte opposta rispetto ad AB e congiungi A con F e B con E. Dimostra che i triangoli AMF e MBE sono congruenti. (R)

  2. Disegna due triangoli ABC e DEF che abbiano AB ≡DE, AC ≡ DF e in cui l'angolo esterno di vertice A sia congruente a quello esterno di vertice D. Dimostra che i triangoli sono congruenti. (R)

  3. Nell'angolo aOb disegna la bisettrice Os. Sui lati dell'angolo aOb scegli due punti, rispettivamente A su Oa e B su Ob, in modo che risulti OA ≡OB. Congiungi un punto E della bisettrice con A e con B. Dimostra che la semiretta Os anche bisettrice dell'angolo AEB. (R)

  4. Dato l'angolo aOb non piatto, sul lato Oa fissa due punti, A e B, e sul lato Ob altri due punti, C e D, in modo che risulti OA ≡ OC e OB ≡ OD. Dimostra che i triangoli OCB e OAD sono congruenti. (R)

  5. Disegna due triangoli congruenti ABC e A'B'C'. Sui lati congruenti AB e A'B', considera i punti D e D' in modo che AD ≡ A'D'. Dimostra che gli angoli CDB e C'D'B' sono congruenti. (R)

  6. Nei triangoli congruenti ABC e A'B'C', dimostra che le bisettrici di due angoli interni congruenti sono congruenti. (R)

  7. Dato un triangolo ABC, sia K il punto in cui la bisettrice dell'angolo A incontra il lato BC. Da K traccia una retta che formi due angoli retti con AK e che intersechi la retta AB in E e la retta AC in D. Dimostra che il triangolo ADE isoscele. (R)

  8. Disegna due triangoli isosceli ABC e ARS di basi BC e SR, aventi in comune il solo vertice A e con l'angolo BAC ≡RAS. Dimostra che i triangoli ABR e ACS sono congruenti se i punti A, B, R non sono allineati. (R)

  1. Nella figura gli angoli DAB e EAC sono retti, i segmenti EA e AC sono congruenti. Anche gli angoli AED e ACB sono congruenti. Dimostra che i triangoli AED e ABC sono congruenti. (R)

  2. Considera un segmento AB e traccia, da parti opposte rispetto ad esso, due semirette r e s che formino angoli congruenti con AB. Prendi C e P su r e D e Q su s in modo che AC ≡ BD e CBP ≡ DAQ. Dimostra che AQ ≡PB. (R)

  3. Sui lati AC, CB e AB del triangolo equilatero ABC considera i punti M, N e P tali che AM ≌ CN ≌ PB. MB interseca CP in Q e AN in T, CP interseca AN in R. Dimostra che il triangolo QRT equilatero (R)

  4. Nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo B interseca il lato AC in D:
    1. Considerati sui lati AB e BC rispettivamente i punti E ed F, tali che EDB ≡ BDF, dimostra che BE ≡ BF.
    2. Prolungati i segmenti DE e DF rispettivamente dei segmenti EP e FQ, con EP ≡ FQ, dimostra che PB ≡ BQ. (R)

  5. Nel triangolo isoscele ABC, prolunga la base AB da ambo le parti di due segmenti congruenti AF e BE. Dimostra che sono congruenti i triangoli AEC e BCF. (R)

Triangles Proof N 9

  1. Nel triangolo isoscele ABC di base AB, considera sul prolungamento della base i segmenti congruenti AD e BE. Sui lati obliqui AC e BC prendi i punti P e Q tali che AP ≡ BQ. Dimostra che
  1. Nella figura la semiretta c forma un angolo retto con a e la semiretta d forma un angolo retto con b. Su a e c considera due punti, rispettivamente A e C, tali che sia VA ≡ VC; su b e su d considera analogamente VB ≡ VD. Dimostra che DA ≡ BC. (R)

  2. Un segmento AB la base di due triangoli congruenti ABC e ABC', costruiti dalla stessa parte di AB. Dopo aver indicato con D l'intersezione di AC' e BC, dimostra che:
    1. il triangolo ADB isoscele
    2. i triangoli ACD e DBC' sono congruenti (R)

  3. Dimostra che due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un angolo, la sua bisettrice e un un lato adiacente a tale angolo sono congruenti. (R)
Triangles Proof 15 a

  1. Dato il triangolo scaleno ABC, prolunga il lato AB di un segmento BD ≡ BC e il lato CB di un segmento BE ≡ AB. Indicato con P il punto di intersezione delle rette AC e DE, dimostra che:
    1. il triangolo CPD isoscele;
    2. BP la bisettrice di ABE. (R)

  2. Disegna un angolo aOb e la sua bisettrice Oc. Sul lato Oa fissa un punto A e sul lato Ob un punto B in modo che risulti OA ≡ OB. Sulla bisettrice scegli un punto E. Congiungi B con E, prolungando il segmento BE, finch incontra il lato Oa nel punto D. Congiungi A con E, prolungando il segmento AE, finch incontra Ob nel punto C. Dimostra che:
    1. i segmenti AE e BE sono congruenti;
    2. i segmenti DE e CE sono congruenti;
    3. i segmenti OD e OC sono congruenti. (R)

  3. Disegna un triangolo ABC di base AB e altezza CH. Dimostra che la somma dei tre lati del triangolo maggiore del doppio dell'altezza CH. (R)

  4. Considera un punto E interno al triangolo ABC. Dimostra che AE + EB < AC + BC (R)

  5. Prolunga il lato AC del triangolo isoscele ABC di base AB di un segmento CF ≡ AC. Sia T un punto della bisettrice dell'angolo FCB.
    Dimostra :
    1. FT ≡ TB
    2. AF > AT - TB (R)

  6. Siano ABC e ABD due triangoli isosceli aventi la base AB in comune e i vertici C e D situati in parti opposte rispetto ad AB. Dimostra che gli angoli ACD ≡ DCB e che ADC ≡ CDB. (R)

  7. Siano ABC un triangolo e M, N, T tre punti presi rispettivamente su AB, BC e CA. Dimostra che : MN + NT + TM < AB + BC + CA (R)

  8. Sui lati AB e AC del triangolo isoscele ABC costruisci, esternamente al triangolo, i triangoli equilateri ABE e ACF. Sia D il punto di intersezione tra EC e BF. Dimostra che:
    1. EC ≌ BF;
    2. ED ≌ DF;
    3. EAD ≌ DAF (angoli)
    Concludi che AD la bisettrice dell'angolo BAC (R)

  9. Disegna un triangolo isoscele ABC di base BC. Siano P e Q i punti medi rispettivamente di AB e di AC. Prolunga la base BC da entrambe le parti di due segmenti BR ≅ CS. Dimostra che RQ ≅ PS e RP ≅ QS. Indica con T il punto di intersezione di PR e QS e con Z il punto di intersezione di PS e QR. Dimostra che A, T, Z sono allineati. (R)

  10. In un triangolo isoscele ABC di base BC e vertice A, prolunga il lato AB di un segmento BD e il lato AC di un segmento CE in modo che BD ≅ CE. Unisci D con C e prolunga il segmento DC, dalla parte di C di un segmento CF. Unisci E con B e prolunga il segmento EB dalla parte di B di un segmento BG congruente a CF. Dimostra che i triangoli AGD e AFE sono congruenti. (R)

  11. Disegna un triangolo isoscele ABC in modo che la base AB sia minore del lato obliquo. Prolunga il lato CA, dalla parte di A, di un segmento AE congruente alla differenza fra il lato obliquo e la base. Prolunga poi la base AB, dalla parte di B, di un segmento BF ≅ AE. Congiungi F con C ed E. Dimostra che CF ≅ EF. (R)

  12. In un triangolo isoscele ABC di base BC e vertice A, prolunga il lato AB di un segmento BD e il lato AC di un segmento CE in modo che BD ≅ CE. Prolunga la base BC di un segmento BG, dalla parte di B, e di un segmento CF dalla parte di C, in modo che BG ≅ CF. Dimostra che sono congruenti i triangoli AEG e ADF. (R)

  13. Nel triangolo isoscele ABC, di base AB, prolunga i lati CA e CB dalla parte della base. La bisettrice dell'angolo supplementare di A incontra il prolungamento del lato BC nel punto E. La bisettrice dell'angolo supplementare di B incontra il prolungamento del lato AC nel punto F. Le due bisettrici si incontrano nel punto T. Dimostra che il triangolo TFE isoscele. (R)