POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI


  1. In un esagono regolare congiungi i punti medi di due coppie di lati opposti. Dimostra che tali segmenti sono le diagonali di un rettangolo

  1. Disegna un ottagono regolare. Prolunga da entrambe le parti quattro lati, alternando un lato si e un lato no. Dimostra che i prolungamenti dei lati individuano un quadrato.
  1. In un esagono regolare scegli due vertici opposti. Da questi vertici traccia le due diagonali non passanti per il centro. Dimostra che queste, incontrandosi, determinano un rombo.
  1. Disegna un triangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O e il diametro CD, e determina l’ortocentro H. Dimostra che:
    1. AH č parallelo a BD;
    2. AB e HD si bisecano.
    3. Caso particolare: se il triangolo ABC č equilatero, come sono i punti O e H? Sono ancora vere le tesi ?


  1. Dato un triangolo equilatero di centro O, traccia gli assi dei segmenti OA, OB, OC, che incontrano i lati del triangolo in sei punti. Dimostra che tali punti sono i vertici di un esagono regolare.
  1. Disegna un esagono regolare ABCDEF, la diagonale AC e le due diagonali BD e BF. Dimostra che AC č divisa dalle altre due diagonali in tre parti congruenti.
  1. Nel triangolo ABC inscritto in una circonferenza indica con H l’ortocentro. Traccia la corda BE perpendicolare ad AB. Dimostra che BE ≅ CH.
  1. Nel triangolo equilatero ABC, inscritto in una circonferenza, indica con D ed E i punti medi dei gli archi BC e CA. Dimostra che la corda ED, incontrando i lati AC e BC, viene suddivisa in tre parti congruenti.
  1. Dimostra che se un poligono č sia inscrivibile che circoscrivibile a due circonferenze concentriche, allora č regolare.
  1. Considera un pentagono regolare e dimostra che ogni diagonale ne divide un’altra in due parti di cui la maggiore č congruente al lato del pentagono.
  1. Un trapezio isoscele č circoscritto a una semicirconferenza. Dimostra che la base maggiore č congruente alla somma dei lati obliqui. Considera anche il caso del trapezio scaleno e del trapezio rettangolo.
  1. Considera una circonferenza e quattro rette a essa tangenti, a due a due parallele. Indica con A, B, C, D i punti di contatto con la circonferenza e con P, Q, R, S i punti intersezione delle rette fra loro. Dimostra che:
    1. PQRS č un rombo;
    2. ABCD č un rettangolo


  1. Disegna un quadrato ABCD di diagonale AC, congiungi il punto medio M di AB col punto medio N di AD e prolunga MN fino a incontrare in E il prolungamento di CD. Dimostra che:
    1. AC č perpendicolare a MN;
    2. CN č perpendicolare ad AE;
    3. AMDE č un parallelogramma


  1. Disegna un triangolo ABC e le sue altezze AE, BF, CD, che individuano l’ortocentro H. Dimo- stra che le altezze di ABC sono le bisettrici del triangolo DEF
  1. Nel triangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O e diametro AD, a partire dal vertice , traccia l'altezza AH e la bisettrice AE. Dimostra che H A ̂ E E A ̂ D .




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