Data la trasformazione geometrica τ di equazioni : { x ' = 12 13 · x + 5 13 · y + 2 y ' = 5 13 · x 12 13 · y + 3 individuare il tipo trovando anche gli eventuali punti uniti e rette unite.

La matrice dei coefficienti delle variabili A = ( 12 13 5 13 5 13 12 13 ) ha determinante det ( A ) = 12 13 · ( 12 13 ) 5 13 · 5 13 = 144 + 25 169 = 169 169 = 1 , quindi è una isometria inversa.

Punti uniti. Le coordinate del punto unito non cambiano a causa della trasformazione. Bisogna allora porre : { x = 12 13 · x + 5 13 · y + 2 y = 5 13 · x 12 13 · y + 3

Da cui: { 1 13 · x 5 13 · y = 2 5 13 · x 25 13 · y = 3 . Si può osservare che il determinante dei coefficienti è nullo. L'equazione è quindi impossibile e non esistono punti uniti (l'isometria non è una rotazione perchè non esiste un centro).

Rette unite. Una retta r: y= m·x + q viene trasformata in una retta r': y'= m'·x' + q'. Ma se la retta è unita deve essere r': y'= m·x' + q, ovvero nel nuovo sistema la retta ha gli stessi parametri ed è allo stesso posto. Sostituendo alle x' e y' le equazioni della trasformazione si ottiene:

r ' : y ' = m · x ' + q ( 5 13 x 12 13 y + 3 ) = m · ( 12 13 x + 5 13 y + 2 ) + q 5 13 x 12 13 y + 3 = 12 13 m · x + 5 13 m · y + 2 m + q 12 + 5 m 13 · y = 5 12 m 13 · x + 3 2 m q

y = 5 12 m 12 + 5 m · x + 13 12 + 5 m · ( 3 2 m q )

Bisogna imporre: { m = 5 12 m 12 + 5 m q = 13 12 + 5 m · ( 3 2 m q )

Dalla prima equazione si ottiene m: ( 12 + 5 m ) · m = 5 12 m 12 m + 5 m 2 = 5 12 m 5 m 2 + 24 m 5 = 0 m = 12 ± 144 + 25 5 = 12 ± 169 5 = { 12 + 13 5 = 1 5 12 13 5 = 5

Per m = 1 5 : q = 13 12 + 5 · 1 5 · ( 3 2 · 1 5 q ) q = 3 2 5 q 2 q = 13 5 q = 13 10

Per m = 5 : q = 13 12 5 · 5 · ( 3 + 2 · 5 q ) q = ( 3 + 10 q ) q = 13 + q Equazione impossibile.

Esiste quindi una retta unita : r : y = 1 5 · x + 13 10 .

Nota: l'isometria non è una simmetria assiale con asse la retta unita r.