Data la trasformazione geometrica τ di equazioni : individuare il tipo trovando anche gli eventuali punti uniti e rette unite.
La matrice dei coefficienti delle variabili ha determinante , quindi è una isometria inversa.
Punti uniti. Le coordinate del punto unito non cambiano a causa della trasformazione. Bisogna allora porre :
Da cui: . Si può osservare che il determinante dei coefficienti è nullo. L'equazione è quindi impossibile e non esistono punti uniti (l'isometria non è una rotazione perchè non esiste un centro).
Rette unite. Una retta r: y= m·x + q viene trasformata in una retta r': y'= m'·x' + q'. Ma se la retta è unita deve essere r': y'= m·x' + q, ovvero nel nuovo sistema la retta ha gli stessi parametri ed è allo stesso posto. Sostituendo alle x' e y' le equazioni della trasformazione si ottiene:
Bisogna imporre:
Dalla prima equazione si ottiene m:
Per :
Per : Equazione impossibile.
Esiste quindi una retta unita : .
Nota: l'isometria non è una simmetria assiale con asse la retta unita r.